tentukan persamaan umum diferensial x²y' + xy - y² =

Berikut ini adalah pertanyaan dari noviantinovianti473 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan persamaan umum diferensial x²y' + xy - y² = 0

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Persamaan Diferensial Biasa

Lakukan Manipulasi Aljabar

$x^{2}y'+xy-y^{2}= 0\\x^{2}y'+xy=y^{2}\\y'+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x^{2}}y^{2}$

Ingat PD Bernoulli

$\boxed{\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha}\,;\ \ \ \alpha\ \sf{real},\, \alpha \neq0,\, dan\ \alpha \neq 1 }$

Dengan substitusi $y^{1-\alpha}=z$ akan berubah menjadi PD linear

Ambil substitusi $y^{-1}=z\to y=\frac{1}{z}$ oleh karenanya $\frac{dy}{dx}=-(\frac{1}{z^{2}})\frac{dz}{dx}$ . Sehingga

$-(\frac{1}{z^{2}})\frac{dz}{dx}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x^{2}z^{2}}\ \, \boxed{\sf{kali\ dengan\ -z^{2}}}\\\frac{dz}{dx}-\frac{z}{x}=-\frac{1}{x^{2}}$

Didapatlah P(x) dan Q(x) dari PD baru yang linear

$P(x)=-\frac{1}{x}\\Q(x)=-\frac{1}{x^{2}}$

Jadi,

$\int P(x)\, dx=-\int \frac{1}{x}=-\ln x \ \\e^{\int P\, dx}= e^{-\ln x}=\frac{1}{x}\\e^{\int P\, dx}=x$

Maka solusi umum dari PD baru yang linear

$z=x(-\int \frac{1}{x^{2}}.\frac{1}{x}+C)=x(\frac{1}{2x^{2}}+C)=\frac{1}{2x}+Cx$

Jadi, solusi umum dari soal adalah

$y=\frac{1}{z}=\frac{2x}{1+2x^{2}C}$

Belajar Bersama Brainly

Lihat profilku dan support aku ya

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh JFalz dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 03 Aug 21