1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

QUIZ INTEGRALbuktikan jika luas arsir yang dibatasi dua kurva tsb

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

QUIZ INTEGRALbuktikan jika luas arsir yang dibatasi dua kurva tsb adalah =
\frac{1}{6} \sqrt{18 \sqrt{33} -50} + 8 \sin ^{-1} ( \frac{1}{4} \sqrt{ \sqrt{33} -1} ) \: \text{satuan luas} ​
QUIZ INTEGRALbuktikan jika luas arsir yang dibatasi dua kurva tsb adalah =[tex] \frac{1}{6} \sqrt{18 \sqrt{33} -50} + 8 \sin ^{-1} ( \frac{1}{4} \sqrt{ \sqrt{33} -1} ) \: \text{satuan luas} [/tex]​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

x^2 = \sqrt{8-x^2}\\\\x^4 + x^2 - 8 = 0\\\\x_{1,2} = \pm \sqrt{\dfrac{-1 + \sqrt{33}}{2}}\\\\\text{Karena simetri fungsi, hitung saja luasnya untuk yang x positif}\\\\\displaystyle L = 2\cdot \int\limits^{x_1}_0 {\sqrt{8-x^2} - x^2} \, dx\\\\L = 2\cdot \left( \int\limits^{x_1}_0 {\sqrt{8-x^2}\;dx - \dfrac{x_1^3}{3}\right) \\\\x^2 = 8\sin^2(t) \to \sqrt{8-x^2} = 2\sqrt{2} \cos(t) \\\\x = 2\sqrt{2} \sin(t)\\\\dx = 2\sqrt{2} \cos(t) \;dt\\\\\sqrt{8-x^2} \;dx = 8 \cos^2(t) \; dt\\\\

\displaystyle L = \dfrac{2}{3}\cdot \left( 3\int\limits^{t_1}_0 8 \cos^2(t)\;dt - x_1^3\right) \to t_1 = \sin^{-1}\left(\dfrac{x_1}{2\sqrt{2}}\right) \\\\L = \dfrac{2}{3}\cdot \left( 12\int\limits^{t_1}_0 (\cos(2t)+1)\;dt - x_1^3\right)\\\\L = \dfrac{2}{3}\cdot \left( 12\left(\dfrac{\sin(2t_1)}{2} + t_1 \right) - x_1^3\right)\\\\

L = \dfrac{2}{3}\cdot \left( 12\left\{ \sin\left( \sin^{-1}\left(\dfrac{x_1}{2\sqrt{2}}\right)\right)\cos\left( \sin^{-1}\left(\dfrac{x_1}{2\sqrt{2}}\right)\right)+ \sin^{-1}\left(\dfrac{x_1}{2\sqrt{2}}\right)\right\} - x_1^3\right)\\\\L = \dfrac{2}{3}\cdot \left( 12\left\{ \dfrac{x_1\sqrt{8-x_1^2}}{8}+ \sin^{-1}\left(\dfrac{x_1}{2\sqrt{2}}\right)\right\} - x_1^3\right)\\\\L = \dfrac{2}{3}\cdot \left( \dfrac{3}{2}\left\{ x_1\sqrt{8-x_1^2} + 8 \sin^{-1}\left(\dfrac{x_1}{2\sqrt{2}}\right)\right\} - x_1^3\right)\\\\L = x_1\sqrt{8-x_1^2} + 8 \sin^{-1}\left(\dfrac{x_1}{2\sqrt{2}}\right) - \dfrac{2}{3}\;x_1^3

x_1 = \sqrt{\dfrac{\sqrt{33}-1}{2}}\\\\8 - x_1^2 = 8 - \dfrac{\sqrt{33}-1}{2}\\\\8 - x_1^2 = \dfrac{17 - \sqrt{33}}{2}\\\\x_1\cdot \sqrt{8-x_1^2} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{33}-1}{2}}\cdot \sqrt{\dfrac{17 - \sqrt{33}}{2}} \\\\ \boxed{x_1\cdot \sqrt{8-x_1^2} = \dfrac{\sqrt{18\sqrt{33} - 50}}{2}}\\\\\\\dfrac{x_1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{\sqrt{33}-1}}{2\cdot 2}\\\\\dfrac{x_1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{\sqrt{33}-1}}{4}\\\\

\boxed{8\sin^{-1}\left(\dfrac{x_1}{2\sqrt{2}} \right) = 8\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{\sqrt{33}-1}}{4}\right)}

x_1^3 = \sqrt{\dfrac{33\sqrt{33} - 1 - 99 + 3\sqrt{33}}{8}}\\\\x_1^3 = \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{36\sqrt{33} - 100}{2}}\\\\\boxed{ \dfrac{2}{3} \cdot x_1^3 = \dfrac{\sqrt{18\sqrt{33} - 50}}{3}}

L = x_1\sqrt{8-x_1^2} + 8 \sin^{-1}\left(\dfrac{x_1}{2\sqrt{2}}\right) - \dfrac{2}{3}\;x_1^3\\\\L = \dfrac{\sqrt{18\sqrt{33} - 50}}{2} + 8\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{\sqrt{33}-1}}{4}\right) - \dfrac{\sqrt{18\sqrt{33} - 50}}{3}}\\\\L = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) \sqrt{18\sqrt{33} - 50}+ 8\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{\sqrt{33}-1}}{4}\right)\\\\\\

\boxed{\text{\large{$\mathbf{L = \left\{\dfrac{\sqrt{18\sqrt{33} - 50}}{6} + 8\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{\sqrt{33}-1}}{4}\right) \right\}}$ \textbf{satuan luas} }}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh ridhovictor dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 04 Aug 21
<< Previous Post
Next Post >>