1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

tentukan solusi persamaan diferensial y" + y = cotx​

Berikut ini adalah pertanyaan dari nabilrafif95 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan solusi persamaan diferensial y" + y = cotx​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Materi: Persamaan Diferensial Orde 2 Tak Homogen

Jawaban:

\tiny{y=C_1\cos{x}+C_2\sin{x}-\sin{x}\ln{(\csc{x}+\cot{x})}+C}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

y" + y = cot x

Untuk menyelesaikan PD Orde 2 tak homogen ini, kita akan menggunakan metode variasi parameter.

Solusi PD tak homogen adalah:

y = yh + yp

Dimana yh adalah solusi homogen dan yp adalah solusi tak homogen nya. Untuk mencari yh caranya dengan menentukan akar karakteristik dari persamaan tersebut.

r^2+1=0\\r^2=-1\\r=±i

Karena akarnya imajiner, maka solusi homogen nya berbentuk:

y_h=C_1\cos{x}+C_2\sin{x}

Selanjutnya, untuk mencari yp, misalkan:

yp = uy1 + vy2

y1 = cos x y2 = sin x

y1' = - sin x y2' = cos x

Pertama kali yang harus kita lakukan yaitu mencari fungsi Wronskiannya dengan cara:

W = y1. y2' - y1'. y2

W = (cos x)(cos x) - (-sin x)(sin x)

W = cos²x + sin²x = 1

Setelah itu, tentukan u dan v.

\begin{aligned}\\u&=-\int{\frac{y_2.r(x)}{W}\,dx}\\u&=-\int{\frac{(\sin{x})(\cot{x})}{1}\,dx}\\u&=-\int{(\sin{x})\left(\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\right)\,dx}\\u&=-\int{\cos{x}\,dx}\\u&=-\sin{x}\end{aligned}

dan

\begin{aligned}\\v&=\int{\frac{y_1.r(x)}{W}\,dx}\\\v&=\int{\frac{(\cos{x})(\cot{x})}{1}\,dx}\\v&=\int{(\cos{x})\left(\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\right)\,dx}\\v&=\int{\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}}\,dx}\\v&=\int{(\csc{x}-\sin{x})\,dx}\\v&=-\ln{(\csc{x}+\cot{x})}+\cos{x}\end{aligned}

Substitusikan u dan v yang telah diperoleh kepada yp, sehingga:

\tiny{\begin{aligned}\\y_p&=(-\sin{x})(\cos{x})+(-\ln{(\csc{x}+\cot{x})}+\cos{x})(\sin{x})\\y_p&=-\frac{1}{2}\sin{2x}-\sin{x}\ln{(\csc{x}+\cot{x})}+\frac{1}{2}\sin{2x}\\y_p&=-\sin{x}\ln{(\csc{x}+\cot{x})}+C\end{aligned}}

Jadi, solusi PD tersebut adalah:

\tiny{y=C_1\cos{x}+C_2\sin{x}-\sin{x}\ln{(\csc{x}+\cot{x})}+C}

Semoga membantu.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh Adjie564 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 26 Aug 21
<< Previous Post
Next Post >>