digit satuan (1234⁵⁶+67⁸⁹)¹⁵ adalah

Berikut ini adalah pertanyaan dari yourmusiclove1 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Digit satuan (1234⁵⁶+67⁸⁹)¹⁵ adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Digit satuan (1234⁵⁶+67⁸⁹)¹⁵ adalah 7.

Pembahasan

Teori Bilangan: Modulo

Angka/digit satuan dari sebuah bilangan adalah modulo 10 dari bilangan tersebut, atau dengan kata lain sisa pembagian bilangan tersebut oleh 10.

Untuk persoalan ini, kita dapat menggunakan kongruensi modular, di mana:

$\large\text{$\begin{aligned}a\equiv r\ (\!\!\!\!\mod b)\end{aligned}$}$
dibaca: " $a$ kongruen $r$ , modulo $b$ ", artinya sisa pembagian $a$ oleh $b$ adalah $r$ .

Penyelesaian

$\begin{aligned}&\left(1234^{56}+67^{89}\right)^{15}\!\!&\mod10\\\equiv\ &\left(4^{56}+7^{89}\right)^{15}&(\!\!\!\!\mod10)\\\equiv\ &\left(\left(4^{2}\right)^{28}+7\times\left(7^{2}\right)^{44}\right)^{15}&(\!\!\!\!\mod10)\\\equiv\ &\left(16^{28}+7\times49^{44}\right)^{15}&(\!\!\!\!\mod10)\\\equiv\ &\left(6^{28}+7\times9^{44}\right)^{15}&(\!\!\!\!\mod10)\\\rightsquigarrow&\left[\ 6^k\!\!\mod10=6\ \right]\\\equiv\ &\left(6+7\times9^{44}\right)^{15}&(\!\!\!\!\mod10)\end{aligned}$
$\begin{aligned}\equiv\ &\left(6+7\times(-1)^{44}\right)^{15}&\qquad\:(\!\!\!\!\mod10)\\\equiv\ &\left(6+7\times1\right)^{15}&(\!\!\!\!\mod10)\\\equiv\ &13^{15}&(\!\!\!\!\mod10)\\\equiv\ &3^{15}&(\!\!\!\!\mod10)\\\equiv\ &3\times\left(3^{2}\right)^7&(\!\!\!\!\mod10)\\\equiv\ &3\times\left(9\right)^7&(\!\!\!\!\mod10)\\\equiv\ &3\times\left(-1\right)^7&(\!\!\!\!\mod10)\\\equiv\ &3\times\left(-1\right)&(\!\!\!\!\mod10)\\\equiv\ &(-3)&(\!\!\!\!\mod10)\end{aligned}$
$\begin{aligned}\rightsquigarrow&\left[\ (-3)\equiv7\ (\!\!\!\!\mod10)\ \right]\\\equiv\ &\bf7&\quad\!(\!\!\!\!\mod10)\\\blacksquare\ \end{aligned}$