Jawab:

Soal di atas merupakan soal persamaan linear tiga variabel yang dapat diselesaikan dengan metode eliminasi atau metode substitusi.

Pembahasan

2) Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut

2x – y + z = 5 ........... persamaan (1)

x + 2y – z = 6 ........... persamaan (2)

3x + y + 2z = 13 ...... persamaan (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

2x – y + z = 5

x + 2y – z = 6

----------------- +

3x + y = 11 .............. persamaan (4)

Eliminasi persamaan (2) dan (3)

x + 2y – z = 6    |×2| 2x + 4y – 2z = 12

3x + y + 2z = 13 |×1| 3x + y + 2z = 13

                                  ---------------------- +

                                   5x + 5y = 25

                                   x + y = 5 ... persamaan (5)

Eliminasi persamaan (4) dan (5)

3x + y = 11

x + y = 5

------------- -

2x = 6

x = 3

Substitusi x = 3 ke persamaan (5)

x + y = 5

3 + y = 5

y = 2

Substitusi x = 3, y = 2 ke persamaan (1)

2x – y + z = 5

2(3) – 2 + z = 5

6 – 2 + z = 5

4 + z = 5

z = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

HP = {(3, 2, 1)}

3) Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut :  

x + 2y + 3z = 9 ....... persamaan (1)

2x – y + z = 8 ......... persamaan (2)

3x – 2y – z = 5 ....... persamaan (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

x + 2y + 3z = 9 |×1| x + 2y + 3z = 9

2x – y + z = 8   |×2| 4x – 2y + 2z = 16

                                ----------------------- +

                                 5x + 5z = 25

                                x + z = 5 ...... persamaan (4)

Eliminasi persamaan (1) dan (3)

x + 2y + 3z = 9

3x – 2y – z = 5

------------------ +

4x + 2z = 14

2x + z = 7 ............. persamaan (5)

Eliminasi persamaan (5) dan (4)

2x + z = 7

x + z = 5

------------ -

x = 2

Substitusikan x = 2 ke persamaan (4)

x + z = 5

2 + z = 5

z = 3

Substitusikan x = 2, z = 3 ke persamaan (1)

x + 2y + 3z = 9

2 + 2y + 3(3) = 9

2 + 2y + 9 = 9

2y = –2

y = –1  

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

HP = {(2, –1, 3)}

4) Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut :  

3x + 2y – 5z = 21 ..... persamaan (1)

4x – 3y + 2z = 8 ....... persamaan (2)

2x + y – 3z = 13 ....... persamaan (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (3)

3x + 2y – 5z = 21 |×1| 3x + 2y – 5z = 21

2x + y – 3z = 13   |×2| 4x + 2y – 6z = 26

                                     ---------------------- –

                                     –x + z = –5 ... persamaan (4)

Eliminasi persamaan (2) dan (3)

4x – 3y + 2z = 8 |×1| 4x – 3y + 2z = 8

2x + y – 3z = 13 |×3| 6x + 3y – 9z = 39

                                   ---------------------- +

                                 10x – 7z = 47 ... persamaan (5)

Eliminasi persamaan (4) dan (5)

–x + z = –5    |×7| –7x + 7z = –35

10x – 7z = 47 |×1| 10x – 7z = 47

                            ------------------ +

                                3x         = 12

                                         x = 4

Substitusi x = 4 ke persamaan (4)

–x + z = –5

–4 + z = –5

z = –1

Substitusi x = 4, z = –1 ke persamaan (3)

2x + y – 3z = 13

2(4) + y – 3(–1) = 13

8 + y + 3 = 13

y = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

HP = {(4, 2, –1)}

5) Sebelumnya kita misalkan :

x = bilangan pertama

y = bilangan kedua

z = bilangan ketiga

x + y + z = 56 .... persamaan (1)

3x + 4y = 2z ...... persamaan (2)

y + z = 3x .......... persamaan (3)

Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (1)

x + (y + z) = 56

x + 3x = 56

4x = 56

x = 14

Substitusi x = 14 ke persamaan (1)

x + y + z = 56

14 + y + z = 56

y + z = 42

z = 42 – y  

Substitusi x = 14 dan z = 42 – y ke persamaan (2)

3x + 4y = 2z

3(14) + 4y = 2(42 – y)

42 + 4y = 84 – 2y

4y + 2y = 84 – 42

6y = 42

y = 7

Substitusi y = 21 ke z = 42 – y

z = 42 – 7

z = 35

Jadi bilangan-bilangan tersebut adalah

Bilangan pertama = 14

Bilangan kedua = 7

Bilangan ketiga = 35

Penjelasan dengan langkah-langkah: