Jadi, hasil pembuktian induksi matematika :

C. Buktikan bahwa : n < 2ⁿ untuk n ∈ Z (Terbukti benar)

D. Buktikan bahwa : n³ - n habis dibagi oleh 3 (Terbukti benar)

E. Buktikan bahwa : 1 + 2 + 2² + ...... + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 1 (Terbukti benar)

Pendahuluan

Induksi matematika merupakan suatu cara untuk menentukan kebenaran dalam sebuah bilangan dimana dilaksanakan secara deduktif dan digunakan untuk menentukan kebenaran dalam suatu kalimat yang memiliki nilai benar atau salah dari matematika yang tersangkut kepada himpunan bilangan.

Untuk menentukan suatu induksi matematika sebaiknya kita harus mengetahui beberapa kemungkinannya, yaitu :

1. Kita harus memberikan kebenaran bahwa rumus tersebut benar, apabila n = 1
2. Kita harus memperkirakan atau memperhitungkan bahwa rumus tersebut benar, apabila n = k.
3. Kita harus memberikan kebenaran bahwa rumus tersebut benar, apabila  n = k + 1

Pembahasan

<<Diketahui>>

Soal c

Buktikan bahwa : n < 2ⁿ untuk n ∈ Z  

Soal d

Buktikan bahwa : n³ - n habis dibagi oleh 3

Soal e

Buktikan bahwa : 1 + 2 + 2² + ...... + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 1

<<Ditanya>>

Hasil Pembuktian...?

<<Jawab>>

Soal e

• Bahwa kebenaran pada kalimat tersebut untuk n = 0 itu benar :

1 + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 1

1 + 2¹ = 2¹⁺¹ - 1

1 + 2 = 2² - 1

3 = 2² - 1

3 = 3 ⇄ (Terbukti kebenaran)

• Bahwa kebenaran pada kalimat tersebut untuk n = k itu benar :

1 + 2 + 2² + ...... + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 1

1 + 2 + 2² + ..... + = - 1 ⇆ (Terbukti kebenaran)

• Bahwa kebenaran pada kalimat tersebut untuk n = k + 1 itu termasuk benar :

1 + 2 + 2² + ..... + + = - 1

Kita perhatikan dari sisi kiri

                   ↓

      (Terbukti kebenaran)

Soal d

• Bahwa kebenaran pada kalimat tersebut untuk n = 1 itu benar :

p(n) = n³ - n ⇔ n = 1

n³ - n

= (1)³ - 1

= 1 - 1

= 0  ⇔ (Terbukti kebenaran)

• Bahwa kebenaran pada kalimat tersebut untuk n = k itu benar :

p(n) = n³ - n

= k³ - k ⇒ (Terbukti kebenaran)

• Bahwa kebenaran pada kalimat tersebut untuk n = k + 1 itu termasuk benar :

                              ↓

             (Terbukti kebenaran)

Soal c

• Bahwa kebenaran pada kalimat tersebut untuk n = 1 itu benar :

n < 2ⁿ

1 < 2¹

1 < 2 → (Terbukti kebenaran)

• Bahwa kebenaran pada kalimat tersebut untuk n = k itu benar :

n < 2ⁿ

k <

• Bahwa kebenaran pada kalimat tersebut untuk n = k + 1 itu termasuk benar :

                     ↓

    (Terbukti kebenaran)

✍✍✍✍ ✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍

PELAJARI LEBIH LANJUT

• Materi tentang induksi matematika  : yomemimo.com/tugas/23452184
• Materi tentang jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n² dari induksi matematika : yomemimo.com/tugas/12819930
• Materi tentang induksi matematika untuk setiap n bilangan asli : yomemimo.com/tugas/11499882
• Materi tentang prinsip induksi matematika : yomemimo.com/tugas/23362640

✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍

⏭Detail Jawaban⏮

Kelas            : 11 SMA

Mapel           : Matematika Wajib

Kategori        : Bab : 6 - Induksi Matematika

Kode              : 11.2.6

Kata kunci     : Induksi matematika, Buktikan bernilai benar