1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Please kak bantuin ​

Berikut ini adalah pertanyaan dari flistynhulu97 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Please kak bantuin ​
Please kak bantuin ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

1. Hasil dari \int\limits {\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+9}}} \, dxadalah\boldsymbol{ln\left | \frac{x}{3}+\frac{\sqrt{x^2+9}}{3} \right |+C}.

2. Hasil dari \int\limits {\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}} \,adalah\boldsymbol{ln\left | \frac{x+1}{2}+\frac{\sqrt{x^2+2x+5}}{2} \right |+C}.

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx

Sifat - sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut :

(i)~\int\limits {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C,~~~dengan~C=konstanta

(ii)~\int\limits {kf(x)} \, dx=k\int\limits {f(x)} \, dx

(iii)~\int\limits {\left [ f(x)\pm g(x) \right ]} \, dx=\int\limits {f(x)} \, dx\pm\int\limits {g(x)} \, dx

.

DIKETAHUI

1.~\int\limits {\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+9}}} \, dx

2.~\int\limits {\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}} \,

.

DITANYA

Tentukan hasil integralnya.

.

PENYELESAIAN

1.

\int\limits {\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+9}}} \, dx

=\int\limits {\left ( \frac{2x}{\sqrt{x^2+9}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+9}} \right )} \, dx

=\int\limits {\frac{2x}{\sqrt{x^2+9}}} \, dx+\int\limits {\frac{1}{\sqrt{x^2+9}}} \, dx

.

Untuk \int\limits {\frac{2x}{\sqrt{x^2+9}}} \, dx,

Misal :

u=x^2+9~\to~du=2xdx

Maka :

\int\limits {\frac{2x}{\sqrt{x^2+9}}} \, dx

=\int\limits {\frac{2x}{\sqrt{u}}} \, \frac{du}{2x}

=\int\limits {u^{-\frac{1}{2}}} \, du

=\frac{1}{-\frac{1}{2}+1} u^{-\frac{1}{2}+1}+C

=2u^{\frac{1}{2}}+C

=2\sqrt{x^2+9} +C

.

Untuk \int\limits {\frac{1}{\sqrt{x^2+9}}} \, dx,

Misal :

tan\theta=\frac{x}{3}

x=3tan\theta

dx=3sec^2\theta d\theta

Maka :

\int\limits {\frac{1}{\sqrt{x^2+9}}} \, dx

=\int\limits {\frac{1}{\sqrt{(3tan\theta)^2+9}}} \, (3sec^2\theta d\theta)

=3\int\limits {\frac{sec^2\theta}{\sqrt{(9(tan^2\theta+1)}}} \, d\theta

=3\int\limits {\frac{sec^2\theta}{\sqrt{9sec^2\theta}}} \, d\theta

=3\int\limits {\frac{sec^2\theta}{3sec\theta} \, d\theta

=\int\limits {sec\theta} \, d\theta

=\int\limits {sec\theta\times\frac{tan\theta+sec\theta}{tan\theta+sec\theta}} \, d\theta

=\int\limits {\frac{sec\theta.tan\theta+sec^2\theta}{tan\theta+sec\theta}} \, d\theta

.~~~~~~Misal~v=tan\theta+sec\theta~\to~dv=sec^2\theta+sec\theta.tan\theta d\theta

=\int\limits {\frac{sec\theta.tan\theta+sec^2\theta}{v}} \, \frac{dv}{sec\theta.tan\theta+sec^2\theta}

=\int\limits {\frac{1}{v}} \, dv

=ln|v|+C

=ln|tan\theta+sec\theta|+C

=ln\left | \frac{x}{3}+\frac{\sqrt{x^2+9}}{3} \right |+C

.

Sehingga \int\limits {\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+9}}} \, dx=2\sqrt{x^2+9}+ln\left | \frac{x}{3}+\frac{\sqrt{x^2+9}}{3} \right |+C.

.

2.

\int\limits {\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}} \,

=\int\limits {\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+1+4}}} \,

=\int\limits {\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2+4}}} \,

.~~~~~~Misal~u=x+1~\to~du=dx

=\int\limits {\frac{du}{\sqrt{u^2+4}}} \,

.~~~~~~Misal~tan\theta=\frac{u}{2}

.~~~~~~2tan\theta=u

.~~~~~~2sec^2\theta d\theta=du

=\int\limits {\frac{2sec^2\theta d\theta}{\sqrt{(2tan\theta)^2+4}}} \,

=2\int\limits {\frac{sec^2\theta d\theta}{\sqrt{4(tan^2\theta+1)}}} \,

=2\int\limits {\frac{sec^2\theta d\theta}{\sqrt{4sec^2\theta}}} \,

=2\int\limits {\frac{sec^2\theta d\theta}{2sec\theta}} \,

=\int\limits {sec\theta} \, d\theta

=ln|tan\theta+sec\theta|+C

=ln\left | \frac{u}{2}+\frac{\sqrt{u^2+4}}{2} \right |+C

=ln\left | \frac{x+1}{2}+\frac{\sqrt{(x+1)^2+4}}{2} \right |+C

=ln\left | \frac{x+1}{2}+\frac{\sqrt{x^2+2x+5}}{2} \right |+C

.

KESIMPULAN

1. Hasil dari \int\limits {\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+9}}} \, dxadalah\boldsymbol{ln\left | \frac{x}{3}+\frac{\sqrt{x^2+9}}{3} \right |+C}.

2. Hasil dari \int\limits {\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}} \,adalah\boldsymbol{ln\left | \frac{x+1}{2}+\frac{\sqrt{x^2+2x+5}}{2} \right |+C}.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Integral substitusi trigonometri : yomemimo.com/tugas/30251199
  2. Integral substitusi trigonometri : yomemimo.com/tugas/30205263
  3. Luas daerah kurva : yomemimo.com/tugas/30113906

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Kata Kunci : integral, tak tentu, antiturunan, substitusi, trigonometri.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 12 Jul 21
<< Previous Post
Next Post >>