1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

2.Tentukan titik kritis pada fungsi f(x,y) = x3 + y2

Berikut ini adalah pertanyaan dari rosew27 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

2.
Tentukan titik kritis pada fungsi f(x,y) = x3 + y2 - 12x - 6y​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Titik kritis fungsi f(x,y)=x^3+y^2-12x-6yadalahtitik minimum di (2,3).

PEMBAHASAN

Turunan atau Diferensial merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Salah satu fungsi dari turunan adalah menentukan nilai minimum/maksimum dari suatu fungsi dua peubah. Dimana suatu fungsi akan memiliki nilai minimum/maksimum pada saat :

f_x=0~dan~f_y=0

dengan :

f_x= = turunan parsial pertama fungsi terhadap x.

f_y= = turunan parsial pertama fungsi terhadap y.

Dari f_x=0~dan~f_y=0 kita akan memperoleh titik titik stasioner, misal (x_0,y_0). Untuk menentukan apakah titik tersebut menyebabkan fungsi bernilai minimum atau maksimum dapat kita gunakan uji turunan kedua. dan nilai D, dengan :

D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)\times f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^2

1. Jika f_{xx}(x_0,y_0)> 0danD(x_0,y_0)> 0maka(x_0,y_0) menyebabkan fungsi bernilai minimum.

2. Jika f_{xx}(x_0,y_0)< 0danD(x_0,y_0)> 0maka(x_0,y_0) menyebabkan fungsi bernilai maksimum.

3. Jika  D(x_0,y_0)< 0maka(x_0,y_0) adalah titik pelana.

4. Jika D = 0 maka uji tidak memberikan hasil.

.

DIKETAHUI

f(x,y)=x^3+y^2-12x-6y

.

DITANYA

Tentukan titik-titik kritis pada fungsi f(x,y).

.

PENYELESAIAN

Kita cari dahulu titik stasionernya.

f(x,y)=x^3+y^2-12x-6y

f_x=3x^2-12

f_y=2y-6

.

Syarat titik stasioner :

f_x=0

3x^2-12=0

x^2-4=0

(x+2)(x-2)=0

x=-2~atau~x=2

.

f_y=0

2y-6=0

2y=6

y=3

Titik stasioner : (-2,3) dan (2,3).

.

Uji dengan turunan kedua.

f_{xx}=6x

f_{xy}=0

f_{yy}=2

.

Untuk titik (-2,3) :

f_{xx}(-2,3)=6(-2)=-12

f_{xy}(-2,3)=0

f_{yy}(-2,3)=2

D(-2,0)=-12\times2-(0)^2=-24

Karena D < 0, maka (-2,3) titik pelana (bukan titik ekstrim).

.

Untuk titik (2,3) :

f_{xx}(2,3)=6(2)=12

f_{xy}(2,3)=0

f_{yy}(2,3)=2

D(2,3)=12\times2-(0)^2=24

Karena f_{xx}> 0 dan D > 0, maka (2,3) menyebabkan fungsi bernilai minimum.

.

Dari uji turunan kedua fungsi f(x,y) hanya memiliki titik kritis berupa titik minimum di (2,3).

.

KESIMPULAN

Titik kritis fungsi f(x,y)=x^3+y^2-12x-6yadalahtitik minimum di (2,3).

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Mencari nilai maksimum dengan metode Lagrange : yomemimo.com/tugas/29466457
  2. Mencari nilai ekstrim dengan metode Lagrange : yomemimo.com/tugas/30141361

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Turunan Fungsi Dua Peubah

Kode Kategorisasi: x.x.x

Kata Kunci : turunan, dua, variabel, titik, ekstrim.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 20 Aug 21
<< Previous Post
Next Post >>