1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Misalkan A himpunan semua bilangan rasional positif. Pada himpunan A,

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Misalkan A himpunan semua bilangan rasional positif. Pada himpunan A, didefinisikan relasi K sebagai berikut: Untuk setiap x, y ∈ A, xKy jika dan hanya jika x = y.2ⁿ, untuk suatu n ∈ Z (Sebagai contoh: 6K12, karena 6 = 12.2⁻¹, tetapi 6K\13, karena 6 ≠ 13.2ⁿ untuk setiap n di Z). Tunjukkan bahwa relasi K relasi ekuivalen pada himpunan A.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Relasi \mathbb{K} memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif pada himpunan A. Oleh karena itu, relasi \mathbb{K} merupakan relasi ekuivalen pada himpunan A.

 

Pembahasan

Relasi Ekuivalen

A adalah himpunan semua bilangan rasional positif.

\Rightarrow A=\{x\mid x\in\mathbb{Q},\ x > 0\}

Pada himpunan A, didefinisikan relasi \mathbb{K} sebagai berikut:

Untuk setiap x, y \in A, x\mathbb{K}y jika dan hanya jika x = y\cdot2^n, untuk suatu n \in \mathbb{Z}.

\begin{aligned}&\Rightarrow \forall\,x,y\in A\,,\ \exists\,n\in\mathbb{Z}:\\&\qquad\:x\mathbb{K}y\iff x=y\cdot2^n\end{aligned}

Ada 3 syaratyang harus dipenuhi relasi\mathbb{K}agar dapat disimpulkan bahwa\mathbb{K}adalahrelasi ekuivalen, yaitu:

  • \mathbb{K} bersifat reflektif, jika dan hanya jika
    \forall\,x\in A:\ x\mathbb{K}x.
  • \mathbb{K} bersifat simetris, jika dan hanya jika
    \forall\,x,y\in A:\ x\mathbb{K}y\implies y\mathbb{K}x.
  • \mathbb{K} bersifat transitif, jika dan hanya jika
    \forall\,x,y,z\in A:\ x\mathbb{K}y\land y\mathbb{K}z\implies x\mathbb{K}z.

 

1. Sifat Reflektif

Akan ditunjukkan bahwa \forall a\in A:\ a\mathbb{K}a.
Berdasarkan definisi, a\mathbb{K}a\iff a=a\cdot2^n.
Dengan n=0\in\mathbb{Z}, dapat kita peroleh a=a\cdot2^0\implies a=ayang merupakan pernyataan yang benar untuk setiapa\in A.
⇒ Sifat reflektifrelasi\mathbb{K} terpenuhi.

2. Sifat Simetris

Akan ditunjukkan bahwa \forall\,a,b\in A:\ a\mathbb{K}b\implies b\mathbb{K}a.
Berdasarkan definisi, a\mathbb{K}b\iff a=b\cdot2^n.
Dengan n=0\in\mathbb{Z}, kita memperoleh a=b\cdot2^0\implies a=b, yang juga berarti bahwa b=a\implies b=a\cdot2^0.
Dari hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa jika a\mathbb{K}bmaka berlakub\mathbb{K}a.
Oleh karena itu, \forall\,a,b\in A:\ a\mathbb{K}b\implies b\mathbb{K}a.
⇒ Sifat simetrisrelasi\mathbb{K} terpenuhi.

3. Sifat Transitif

Akan ditunjukkan bahwa \forall\,a,b,c\in A:\ a\mathbb{K}b\land b\mathbb{K}c\implies a\mathbb{K}c.
Berdasarkan definisi:
\begin{cases}a\mathbb{K}b\iff a=b\cdot2^n&\quad...(i)\\b\mathbb{K}c\iff b=c\cdot2^n&\quad...(ii)\\\end{cases}
Dari (i) dan (ii) diperoleh:
\implies a=\left(c\cdot2^n\right)2^n=c\cdot2^{2n}
Karena n\in\mathbb{Z}, maka 2n\in\mathbb{Z}, sehingga dengan memisalkan k=2ndengank\in\mathbb{Z}, berlaku:
\exists\,k\in\mathbb{Z}:\ a=c\cdot2^{k}\iff a\mathbb{K}c
Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa:
\forall\,a,b,c\in A\,,\ \exists\,k\in\mathbb{Z}:\ a\mathbb{K}b\land b\mathbb{K}c\implies a\mathbb{K}c.
⇒ Sifat transitifrelasi\mathbb{K} terpenuhi.

 

KESIMPULAN

Karena telah dapat ditunjukkan bahwa relasi \mathbb{K} memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif, maka relasi \mathbb{K} merupakan relasi ekuivalenpada himpunanA.

 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 12 Jul 22
<< Previous Post
Next Post >>