1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

[tex]\text{hasil dari} \: \displaystyle \int^{ \pi }_0\sqrt{e^x + \sin

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

\text{hasil dari} \: \displaystyle \int^{ \pi }_0\sqrt{e^x + \sin (x)} \: \text{dx}tolong​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

\sqrt{e^x + \sin(x)} \text{ adalah salah satu fungsi yang tidak memiliki anti turunan}\\\\ \text{ dalam bentuk fungsi dasar (yaitu fungsi seperti trigonometri, eksponen, polinomial, dll}\\\\\text{dalam kasus seperti ini, solusi nya bisa berupa fungsi non-dasar (non-elementary)} \\\\\text{ atau tidak memiliki jawaban sama sekali jika dilakukan secara manual}\\\\ \text{(untuk kasus \#2 ini kemungkinan hanya bisa dicari oleh }\\\\\text{komputer dengan algoritma yang disebut algoritma Risch)}\\\\\text{dan sepertinya untuk fungsi ini hanya bisa dicari oleh komputer}\\\\

Contoh fungsi non-dasar :

\displaystyle \text{fungsi $\int_0^x e^{t^2} dt$ adalah salah satu contoh fungsi non-dasar,} \\\\\text{tapi memiliki solusi dalam bentuk deret taylor : }\\\\\displaystyle \text{deret taylor dari $e^x$ adalah $\sum_{k = 0}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!}$, jika $x$ diganti $x^2$ maka didapat kan deret taylor dari} \\\\ \text{ fungsi $e^{x^2}$} \\\\e^{x^2} = \sum_{k = 0}^{\infty} \dfrac{x^{2k}}{k!}\\\\\int_0^x e^{t^2} dt = \int_0^x \sum_{k = 0}^{\infty} \dfrac{t^{2k}}{k!} dt\\\\

\displaystyle \int_0^x e^{t^2} dt = \sum_{k = 0}^{\infty} \dfrac{1}{k!}\int_0^x t^{2k} dt\\\\\int_0^x e^{t^2} dt = \sum_{k = 0}^{\infty} \dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)\cdot k!}

itulah solusi dari salah satu fungsi non-dasar, karena fungsi yang direpresentasikan deret taylor yang berada di sebelah kanan tidak diketahui (dan menggunakan deret taylor untuk integral tentu artinya menghitung secara manual dengan beberapa elemen polinomial saja).

\displaystyle \text{Fungsi $\int_0^x e^{t^2} dt $ dikenal sebagai fungsi error (dilambangkan erf(x)), fungsi ini}\\\\ \text{ dipakai dalam statistika untuk mencari probabilitas/luas pada kurva distribusi normal}

\text{Sedangkan untuk fungsi $\sqrt{e^x + \sin(x)}$ sepertinya tidak bisa dievaluasi secara manual }\\\\ \text{dengan tangan bahkan dengan deret taylor} \\\\\text{(coba ganti x dengan $e^x + \sin(x)$ pada deret taylor $\sqrt{x}$)}\\\\maka fungsi tersebut mungkin hanya bisa dievaluasi dengan komputer melalui algoritma Risch

https://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm

menurut WolframAlpha (program matematika online terkenal), hasil dari

\displaystyle \int\limits^{\pi}_0 {\sqrt{e^x + \sin(x)}} \, dx

adalah sekitar 8.08058... (angka transendental)

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh ridhovictor dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 02 Aug 21
<< Previous Post
Next Post >>