Persamaan Lingkaran

Terdapat berbagai macam persamaan lingkaran, yaitu persamaan yang dibentuk dari titik pusat dan jari-jari serta suatu persamaan yang bisa dicari titik pusat dan jari – jarinya.

Persamaan umum lingkaran

Dalam Persamaan lingkaran, terdapat persamaan umum, seperti dibawah ini :

Adalah bentuk umum rumus persamaannya.

Dilihat dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari – jari lingkaran nya:

Titik pusat lingkaran

jari-jari lingkaran

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r

Dari suatu lingkaran jika diketahui titik pusat dan jari-jarinya, dapat diperoleh persamaan lingkarannya, yaitu dengan rumus:

jika diketahui titik pusat dan jari-jari lingkaran dimana (a,b) adalah titik pusat dan r adalah jari-jari dari lingkaran tersebut.

Dari persamaan yang diperoleh, kita dapat menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran, di dalam lingkaran atau diluar lingkaran. Untuk menentukan letak titik tersebut, yaitu dengan subtitusi titik pada variabel x dan y kemudian dibandingkan hasilnya dengan kuadrat dari jari-jari.

Suatu titik M (x1, y1) terletak:

terletak pada lingkaran jika = r^2

terletak didalam lingkaran jika < r^2

jika terletak di luar lingkaran: > r^2

Persamaan lingkaran dengan dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran jika titik pusat di O(0,0), maka subtitusi pada bagian sebelumnya, yaitu:

Dari persamaan diatas, juga dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut.

Suatu titik M (x1, y1) terletak:

terletak pada lingkaran jika = r^2

terletak didalam lingkaran jika < r^2

jika terletak di luar lingkaran: > r^2

Perpotongan Garis dan Lingkaran

Suatu lingkaran dengan persamaan lingkaran

dapat ditentukan apakah suatu garis h dengan persamaan y = mx+n tersebut tidak menyentuh, menyinggung, atau memotong lingkaran dengan menggunakan prinsip diskriminan.

(persamaan 1)

(persamaan 2)

Dengan mensubtitusi persamaan 2 ke persamaan 1, akan diperoleh suatu bentuk persamaan kuadrat:

Dari persamaan kuadrat diatas, dengan membandingkan nilai diskriminannya, dapat dilihat apakah garis tidak menyinggung/memotong, menyinggung atau memotong lingkaran.

Garis h tidak memotong/menyinggung lingkaran, maka D < 0

Garis h menyinggung lingkaran, maka D = 0

Garis h memotong lingkaran, maka D > 0

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada lingkaran.

Garis singgung pada suatu lingkaran tepat bertemu dengan satu titik yang terletak pada lingkaran. Dari titik pertemuan dari garis singgung dan lingkaran, dapat ditentukan persamaan garis dari garis singgung tersebut.

Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik P (x1, y1), dapat ditentukan berdasarkan rumus persamaan lingkaran yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, yaitu

Persamaan lingkaran berpusat di (0,0), Persamaan garis singgungnya:

Persamaan lingkaran berpusat di (a,b), Persamaan garis singgungnya:

Persamaan Umum lingkaran, Persamaan garis singgungnya:

Persamaan garis singgung dengan gradien

Jika suatu garis dengan gradien m yang menyinggung sebuah lingkaran berpusat di (0,0), maka persamaan garis singgungnya:

Jika lingkaran berpusat di (a,b), maka persamaan garis singgungnya:

Jika Persamaan umum lingkaran, maka persamaan garis singgungnya dengan mensubtitusi r:

Persamaan garis singgung dengan titik yang berada diluar lingkaran

Dari suatu titik yang berada diluar lingkaran, dapat ditarik dua garis singgung pada lingkaran tersebut. Untuk mecari persamaan garis singgung, digunakan rumus persamaan garis biasa, yaitu:

Akan tetapi dari rumus diatas, nilai gradien garis belum diketahui. Untuk mencari nilai gradien garis, subtitusikan persamaan pada persamaan lingkaran. Karena garis merupakan garis singgung, maka dari persamaan hasil subtitusi nilai D = 0, dan akan diperoleh nilai m.