Parabola y = 2x²-x+1 dan garis y = x+p berpotongan

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Parabola y = 2x²-x+1 dan garis y = x+p berpotongan di dua titik dan membentuk daerah tertutup dengan luas 9 satuan luas. Volume benda putar daerah tersebut jika diputar 360° terhadap sumbu-x adalah ... satuan volume.A. 335π/5 B. 333π/5 C. 331π/5 D. 329π/5 E. 327π/5

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Volume benda putar daerah tersebut jika diputar 360° terhadap sumbu-x adalah 333π/5 satuan volume.

Pembahasan

INTEGRAL: Luas Daerah dan Volume Benda Putar

Parabola y = 2x² – x + 1dan garisy = x + pberpotongan di dua titik dan membentuk daerah tertutup dengan luas9 satuan luas.

Parabola y = 2x² – x + 1 membuka ke atas, karena a = 2 > 0, dan definit positif, karena a > 0 dan D < 0. Oleh karena itu, agar terbentuk sebuah daerah tertutup, garis y = x + p harus berada di atas titik puncak minimum parabola ketika memotong parabola. Oleh karena itu, dapat dipastikan bahwa p > 0.

Rumus cepat luas daerah antara garis lurus dan parabola adalah L = (D√D)/(6a²). Namun kali ini saya gunakan cara dasar saja.

Kita tentukan titik potong antara kedua fungsi.
2x² – x + 1 = x + p
⇒ 2x² – 2x = p – 1
⇒ x² – x = (p – 1)/2
⇒ x² – x + ¼ = (p – 1)/2 + ¼
⇒ (x – ½)² = (2p – 2 + 1)/4
⇒ x – ½ = ± √[(2p – 1)/4]
⇒ x – ½ = ± ½√(2p – 1)
⇒ x = ½ ± ½√(2p – 1)

Batas bawah: a = ½ – ½√(2p – 1)
Batas atas: b = ½ + ½√(2p – 1)

Daerah yang akan dihitung:
x + p – (2x² – x + 1) = –2x² + 2x + p – 1

Perhatikan fungsi untuk daerah tersebut, terdapat p – 1 yang dapat diolah menjadi:
p – 1 = ½(2p – 1) – ½

Sehingga, dengan m = 2p – 1:
p – 1 = ½m – ½
⇒ p – 1 = ½(m – 1)

Dari hasil olahan di atas, kita update fungsi daerah dan batas-batasnya.

Daerah: –2x² + 2x + ½(m – 1)
Batas bawah: a = ½ – ½√m = ½(1 – √m)
Batas atas: b = ½ + ½√m = ½(1 + √m)

Sebelum menghitung, kita manipulasi sedikit terlebih dahulu.

–2x² + 2x + ½(m – 1)merupakanfungsi kuadrat “baru” yang dalam hal “bentuk” grafik independen terhadap grafik fungsi daerah di atas.

Sumbu simetrinya adalah x = ½.
Batas atas dan batas bawah masing-masing berada ½√m jauhnya dari sumbu simetri.

Oleh karena itu, dengan memanfaatkan prinsip simetris dari bentuk parabola fungsi kuadrat, luas daerah ini dapat ditentukan dengan:

$\displaystyle L=2\cdot\int_{\!\!\!\!\begin{array}{c}x_{\sf simetri}\end{array}}^{b}g(x)\,dx$

sehingga dengan diketahui bahwa luasnya adalah 9 satuan luas, diperoleh:

$\begin{aligned}\bf9&=2\cdot\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{m}}\left(-2x^2+2x+\frac{1}{2}(m-1)\right)dx\\\bf9&=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}(1+\sqrt{m})}2\left(-2x^2+2x+\frac{1}{2}(m-1)\right)dx\\\bf9&=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}(1+\sqrt{m})}\left(-4x^2+4x+m-1\right)dx\\\bf9&=\left [-\frac{4}{3}x^3+2x^2+(m-1)x\right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}(1+\sqrt{m})}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\bf9&=-\frac{4}{3}\left[\frac{1}{8}\left(1+\sqrt{m}\right)^3-\frac{1}{8}\right]\\&\qquad+2\left[\frac{1}{4}\left(1+\sqrt{m}\right)^2-\frac{1}{4}\right]\\&\qquad+(m-1)\left[\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{m}\right)-\frac{1}{2}\right]\\\bf9&=-\frac{1}{6}\left[\left(1+\sqrt{m}\right)^3-1\right]\\&\qquad+\frac{1}{2}\left[\left(1+\sqrt{m}\right)^2-1\right]\\&\qquad+\frac{1}{2}(m-1)\left[1+\sqrt{m}-1\right]\end{aligned}$
$\begin{aligned}\bf9&=-\frac{1}{6}\left[3m+3\sqrt{m}+m\sqrt{m}\right]\\&\qquad+\frac{1}{2}\left(m+2\sqrt{m}\right)\\&\qquad+\frac{1}{2}(m-1)\sqrt{m}\\\bf9&=-\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}\sqrt{m}+\sqrt{m}-\frac{1}{2}\sqrt{m}\\&\qquad-\frac{1}{6}m\sqrt{m}+\frac{1}{2}m\sqrt{m}\\\bf9&=\frac{1}{3}m\sqrt{m}\\&\Rightarrow\ {\bf27}=m\sqrt{m}\\&\Rightarrow\ {\bf9\sqrt{9}}=m\sqrt{m}\\&\Rightarrow\ m={\bf9}\\&\therefore\ \boxed{p=\bf5}\quad\because\ m=2p-1\end{aligned}$

Maka, persamaan garis lurus yang memotong parabola tersebut adalah:
y = x + 5

Dengan substitusi nilai m, batas-batas daerah di antara garis lurus dan parabola menjadi:

Batas bawah: a = ½(1 – √m) = ½(1 – √9) = –1
Batas atas: b = ½(1 + √m) = ½(1 + √9) = 2

Volume benda putar daerah tersebut jika diputar 360° terhadap sumbu-x dihitung dengan:

$\begin{aligned}V&=\pi\int_{-1}^{2}\left[(x+5)^2-\left(2x^2-x+1\right)^2\right]dx\\&=\pi\int_{-1}^{2}\left[\left(x+5+2x^2-x+1\right)\left(x+5-2x^2+x-1\right)\right]dx\\&=\pi\int_{-1}^{2}\left[\left(2x^2+6\right)\left(-2x^2+2x+4\right)\right]dx\\&=\pi\int_{-1}^{2}\left[2\left(x^2+3\right)(-2)\left(x^2-x-2\right)\right]dx\\&=-4\pi\int_{-1}^{2}\left[\left(x^2+3\right)\left(x^2-x-2\right)\right]dx\\&=-4\pi\int_{-1}^{2}\left[x^4+3x^2-x^3-3x-2x^2-6\right]dx\end{aligned}$
$\begin{aligned}V&=-4\pi\int_{-1}^{2}\left[x^4-x^3+x^2-3x-6\right]dx\\&=-4\pi\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-6x\right]_{-1}^{2}\\&=-\frac{4}{60}\pi\Bigl[12x^5-15x^4+20x^3-90x^2-360x\Bigr]_{-1}^{2}\\&=-\frac{1}{15}\pi\Bigl[12x^5-15x^4+20x^3-90x^2-360x\Bigr]_{-1}^{2}\\&=-\frac{1}{15}\pi\left[\begin{array}{c}(12\cdot32-15\cdot16+20\cdot8-90\cdot4-360\cdot2)\\-\ (-12-15-20-90+360)\end{array}\right]\end{aligned}$
$\begin{aligned}V&=-\frac{1}{15}\pi\left[\begin{array}{c}(384-240+160-360-720)\\-\ 223\end{array}\right]\\&=-\frac{1}{15}\pi(-776-223)\\&=-\frac{1}{15}\pi(-999)\\&=-\frac{1}{5\cdot\cancel{3}}\pi(-333\cdot\cancel{3})\\V&=\boxed{\ \bf\frac{333\pi}{5}\ {\sf\ satuan\ volume}}\end{aligned}$