Jawaban:

Integral adalah anti turunan. Bentuk Integral dari ketiga soal diatas yaitu ∫ 6x(x + 2)⁵ dx, ∫ 24x (3x – 5)⁶ dx dan ∫ 8x (1 – 2x)³ dx adalah bentuk integral parsial. Bentuk umum integral parsial adalah

∫ u dv = u . v – ∫ v du

dengan u adalah fungsi f(x) yang bisa diturunkan sampai nol

Pembahasan

1) ∫ 6x(x + 2)⁵ dx

Misal

u = 6x dv = (x + 2)⁵ dx

du = 6 dx v = \frac{1}{6}

6

1

(x + 2)⁶

∫ 6x(x + 2)⁵ dx

= ∫ u dv

= u . v – ∫ v du

= 6x . \frac{1}{6}

6

1

(x + 2)⁶ – ∫ \frac{1}{6}

6

1

(x + 2)⁶ . 6 dx

= x (x + 2)⁶ – ∫ (x + 2)⁶ dx

= x (x + 2)⁶ – \frac{1}{7}

7

1

(x + 2)⁷ + C

Jika mau lebih sederhana lagi maka jawabannya adalah sebagai berikut

= x (x + 2)⁶ – \frac{1}{7}

7

1

(x + 2)⁷ + C

= (x + 2)⁶ (x - \frac{1}{7}

7

1

(x + 2)) + C

= (x + 2)⁶ \left( {\frac{7x - (x + 2)}{7}}\right)(

7

7x−(x+2)

) + C

= (x + 2)⁶ \left( {\frac{6x - 2)}{7}}\right)(

7

6x−2)

) + C

= (x + 2)⁶ \left( {\frac{2(3x - 1))}{7}}\right)(

7

2(3x−1))

) + C

= (x + 2)⁶ \frac{2}{7}

7

2

(3x – 1) + C

= \frac{2}{7}

7

2

(3x – 1) (x + 2)⁶ + C

2) ∫ 24x (3x – 5)⁶ dx

Misal

u = 24x dv = (3x – 5)⁶ dx

du = 24 dx v = \frac{1}{3}.\frac{1}{7}

3

1

.

7

1

(3x – 5)⁷

v = \frac{1}{21}

21

1

(3x – 5)⁷

∫ 24x (3x – 5)⁶ dx

= ∫ u dv

= u . v – ∫ v du

= 24x . \frac{1}{21}

21

1

(3x – 5)⁷ – ∫ \frac{1}{21}

21

1

(3x – 5)⁷ . 24 dx

= \frac{24}{21}

21

24

x (3x – 5)⁷ – ∫ \frac{24}{21}

21

24

(3x – 5)⁷ dx

= \frac{8}{7}x

7

8

x (3x – 5)⁷ – ∫ \frac{8}{7}

7

8

(3x – 5)⁷ dx

= \frac{8}{7}x

7

8

x (3x – 5)⁷ – \frac{8}{7}.\frac{1}{3}.\frac{1}{8}

7

8

.

3

1

.

8

1

(3x – 5)⁸ + C

= \frac{8}{7}x

7

8

x (3x – 5)⁷ – \frac{1}{21}

21

1

(3x – 5)⁸ + C

Jika mau lebih sederhana lagi maka jawabannya adalah sebagai berikut

= \frac{8}{7}x

7

8

x (3x – 5)⁷ – \frac{1}{21}

21

1

(3x – 5)⁸ dx

= (3x – 5)⁷ \left(\frac{8}{7}x - \frac{1}{21}(3x - 5)}\right) + C

= (3x – 5)⁷ \left( {\frac{24x - (3x - 5)}{21}}\right)(

21

24x−(3x−5)

) + C

= (3x – 5)⁷ \left( {\frac{21x + 5)}{21}}\right)(

21

21x+5)

) + C

= \frac{1}{21}

21

1

(3x – 5)⁷ (21x + 5) + C

3) ∫ 8x (1 – 2x)³ dx

Misal

u = 8x dv = (1 – 2x)³ dx

du = 8 dx v = \frac{1}{-2}.\frac{1}{4}

−2

1

.

4

1

(1 – 2x)⁴

v = -\frac{1}{8}−

8

1

(1 – 2x)⁴

∫ 8x (1 – 2x)³ dx

= ∫ u dv

= u . v – ∫ v du

= 8x . -\frac{1}{8}−

8

1

(1 – 2x)⁴ – ∫ -\frac{1}{8}−

8

1

(1 – 2x)⁴ . 8 dx

= –x (1 – 2x)⁴ – ∫ – (1 – 2x)⁴ dx

= –x (1 – 2x)⁴ + ∫ (1 – 2x)⁴ dx

= –x (1 – 2x)⁴ + \frac{1}{-2}.\frac{1}{5}

−2

1

.

5

1

(1 – 2x)⁵ + C

= –x (1 – 2x)⁴ – \frac{1}{10}

10

1

(1 – 2x)⁵ + C

Jika mau lebih sederhana lagi maka jawabannya adalah sebagai berikut

= –x (1 – 2x)⁴ – \frac{1}{10}

10

1

(1 – 2x)⁵ + C

= (1 – 2x)⁴ (–x – \frac{1}{10}

10

1

(1 – 2x)) + C

= (1 – 2x)⁴ \left( {\frac{-10x - (1 - 2x)}{10}}\right)(

10

−10x−(1−2x)

) + C

= (1 – 2x)⁴ \left( {\frac{-8x - 1)}{10}}\right)(

10

−8x−1)

) + C

= (1 – 2x)⁴ \left( {\frac{-1(8x + 1))}{10}}\right)(

10

−1(8x+1))

) + C

= -\frac{1}{10}−

10

1

(1 – 2x)⁴ (8x + 1) + C

Pelajari lebih lanjut

Contoh soal lain tentang integral substitusi

yomemimo.com/tugas/1703156

------------------------------------------------

Detil Jawaban

Kelas : 11

Mapel : Matematika

Kategori : Integral tak tentu fungsi aljabar

Kode : 11.2.10

Kata Kunci : Integral parsial