1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

kuis (50+) sesuai janji sayaMateri : pecahan parsiilubahlah ke dalam

Berikut ini adalah pertanyaan dari elga815 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Dasar

Kuis (50+) sesuai janji sayaMateri : pecahan parsiil

ubahlah ke dalam pecahan parsiil ;
\frac{7x^{3} + 16 {x}^{2} + 20x + 5 }{( {x}^{2} + 2x + 2)^{2} }
Easyyyy​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

\large\text{$\begin{aligned}&\frac{7x^3+16x^2+20x+5}{(x^2+2x+2)^2}=\bf\frac{7x+2}{x^2+2x+2}+\frac{2x+1}{(x^2+2x+2)^2}\end{aligned}$}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Dekomposisi Fungsi Rasional menjadi Pecahan Parsial

\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Misalkan $\frac{p(x)}{q(x)}$ adalah sebuah fungsi rasional,}\\&\textsf{dan $q(x)=(x-a)^m\left(x^2+bx+c\right)^n$ dengan asumsi}\\&\textsf{$x^2+bx+c$ tak tereduksi (tak bisa difaktorkan),}\\&\textsf{dekomposisi $\frac{p(x)}{q(x)}$ menjadi pecahan parsial dapat}\\&\textsf{dinyatakan dengan:}\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\dots+\frac{A_m}{x^m}\\&{\qquad\quad}+\frac{B_1x+C_1}{x^2+bx+c}+\frac{B_2x+C_2}{(x^2+bx+c)^2}+\dots\\&{\qquad\quad}+\frac{B_nx+C_n}{(x^2+bx+c)^n}\end{aligned}$}

___________________________

Penyelesaian

\large\text{$\begin{aligned}&\frac{7x^3+16x^2+20x+5}{(x^2+2x+2)^2}=\frac{A_1x+B_1}{x^2+2x+2}+\frac{A_2x+B_2}{(x^2+2x+2)^2}\quad(\bigstar)\\\\&{\quad}\textsf{[\ \ kalikan kedua ruas dengan $(x^2+2x+2)^2$\ \ ]}\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&{\iff}7x^3+16x^2+20x+5=(A_1x+B_1)(x^2+2x+2)+A_2x+B_2\\\\&{\iff}7x^3+16x^2+20x+5=A_1x^3+2A_1x^2+2A_1x\ \dots\\&{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}+B_1x^2+2B_1x+2B_1\ \dots\\&{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}+A_2x+B_2\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&{\iff}7x^3+16x^2+20x+5=A_1x^3\ \dots\\&{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}+(2A_1+B_1)x^2\ \dots\\&{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}+(2A_1+2B_1+A_2)x\ \dots\\&{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}+2B_1+B_2\end{aligned}$}

Kemudian, kita perhatikan kesamaan koefisien antara ruas kiri dan kanan, sehingga penyelesaian selanjutnya adalah sebuah sistem persamaan seperti berikut ini.

\large\text{$\begin{aligned}&\begin{cases}\textsf{Koef. $x^3:$ }\ A_1=7&....(i)\\\textsf{Koef. $x^2:$ }\ 2A_1+B_1=16&....(ii)\\\textsf{Koef. $x:$ }\ \:\,2A_1+2B_1+A_2=20&....(iii)\\\textsf{Konst.:}\quad\ \ \:2B_1+B_2=5&....(iv)\\\end{cases}\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&(i)\rightarrow(ii):\\&\qquad2(7)+B_1=16\\&\qquad\iff B_1=2\quad....(v)\\\\&(i,v)\rightarrow(iii):\\&\qquad2(7)+2(2)+A_2=20\\&\qquad\iff A_2=2\quad....(vi)\\\\&(v)\rightarrow(iv):\\&\qquad2(2)+B_2=5\\&\qquad\iff B_2=1\end{aligned}$}

Sehingga, kita bisa memperoleh pecahan parsialnya sebagai berikut.

\large\text{$\begin{aligned}&(A_1,\ B_1,\ A_2,\ B_2)\longrightarrow(\bigstar):\\\\&\boxed{\frac{7x^3+16x^2+20x+5}{(x^2+2x+2)^2}=\bf\frac{7x+2}{x^2+2x+2}+\frac{2x+1}{(x^2+2x+2)^2}}\end{aligned}$}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 11 May 22
<< Previous Post
Next Post >>