HP = { x | –8 ≤ x ≤ 7 atau x = 1 atau x ≥ 4,  x ∈ ℝ }

Pembahasan

Pertidaksamaan Polinomial

Diberikan pertidaksamaan polinomial:

Penyelesaian

Dengan memfaktorkan polinomial, kita memperoleh:

Identifikasi interval

Dari faktor-faktor di atas, dari yang terkecil, titik kritisnya adalah:
x = –8, x = –7, x = 1, x = 4, x = 5

Cukup perhatikan (x–4)(x+7)(x+8), karena (x–1)²(x–5)² pasti > 0 (memenuhi pertidaksamaan).

• Untuk x < –8:
  (x–4)(x+7)(x+8)
  = (–)(–)(–)
  = (–)  < 0
  ⇒ BUKAN merupakan solusi

• Untuk x = –8:
  ⇒ merupakan solusi karena merupakan pembuat nol polinomial

• Untuk –8 < x < –7:
  (x–4)(x+7)(x+8)
  = (–)(–)(+)
  = (+)  > 0
  ⇒ merupakan solusi

• Untuk x = –7:
  ⇒ merupakan solusi karena merupakan pembuat nol polinomial

• Untuk –7 < x < 1:
  (x–4)(x+7)(x+8)
  = (–)(+)(+)
  = (–)  < 0
  ⇒ BUKAN merupakan solusi

• Untuk x = 1:
  ⇒ merupakan solusi karena merupakan pembuat nol polinomial

• Untuk 1 < x < 4:
  (x–4)(x+7)(x+8)
  = (–)(+)(+)
  = (–)  < 0
  ⇒ BUKAN merupakan solusi

• Untuk x = 4:
  ⇒ merupakan solusi karena merupakan pembuat nol polinomial

• Untuk 4 < x < 5:
  (x–4)(x+7)(x+8)
  = (+)(+)(+)
  = (+)  > 0
  ⇒ merupakan solusi

• Untuk x = 5:
  ⇒ merupakan solusi karena merupakan pembuat nol polinomial

• Untuk x > 5:
  (x–4)(x+7)(x+8)
  = (+)(+)(+)
  = (+)  > 0
  ⇒ merupakan solusi

Kemudian, gabungkan nilai dan interval yang merupakan solusi.
(x = –8) atau  (–8 < x < –7) atau  (x = –7) atau  (x = 1) atau  (x = 4) atau  (4 < x < 5) atau  (x = 5) atau  (x > 5)
≡ (–8 ≤ x ≤ 7) atau (x = 1) atau (x ≥ 4)

Maka, interval solusi untuk x adalah:
–8 ≤ x ≤ 7  atau  x = 1  atau  x ≥ 4

KESIMPULAN

∴  Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah:

HP = { x | –8 ≤ x ≤ 7 atau x = 1 atau x ≥ 4,  x ∈ ℝ }