Q. (50+)Materi : Deret tak terhinggaUjilah tiap² deret untuk konvergensi

Berikut ini adalah pertanyaan dari elga815 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Dasar

Q. (50+)Materi : Deret tak terhingga

Ujilah tiap² deret untuk konvergensi mutlak atau bersyarat :
$\frac{1}{3 \times {2}^{2} } - \frac{1}{4 \times {3}^{2} } + \frac{1}{5 \times {4}^{2} } - \frac{1}{6 \times {5}^{2} } + ....$
Percayalah suatu saat orang yang kita sukai atau percayai akan mengkhianati kita:)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

$\large\text{$\begin{aligned}&\frac{1}{3\times2^2}-\frac{1}{4\times3^2}+\frac{1}{5\times4^2}-\frac{1}{6\times5^2}+{\dots}\\&{=\ }\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n+1}\frac{1}{(n+2)(n+1)^2}\right]\quad.....(i)\\\\\end{aligned}$}$

Deret tersebut adalah deret ganti tanda (DGT) atau alternating series.

Deret ganti tanda, dengan bentuk umum $\large\text{$\sum_{n=1}^{\infty}{\left[(-1)^{n+1}\cdot a_n\right]}$}$ dikatakan konvergen jika:

$\large\text{$\begin{array}{ll}1.&a_n\ \textsf{monoton turun}\\2.&\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=0\end{array}$}$

Dari (i), kita peroleh:

$\large\text{$\begin{aligned}&\begin{cases}U_n=(-1)^{n+1}\dfrac{1}{(n+2)(n+1)^2}\\\\\left|U_n\right|=a_n=\dfrac{1}{(n+2)(n+1)^2}\end{cases}\end{aligned}$}$

sehingga $a_n=\dfrac{1}{(n+2)(n+1)^2}$ dan $a_{n+1}=\dfrac{1}{(n+3)(n+2)^2}$

$\large\text{$\begin{aligned}\frac{a_n}{a_{n+1}}&=\frac{\ \dfrac{1}{(n+2)(n+1)^2}\ }{\dfrac{1}{(n+3)(n+2)^2}}\\\\&=\frac{(n+3)(n+2)^2}{(n+2)(n+1)^2}\\\\&=\frac{(n+3)(n+2)}{(n+1)^2}\\\\&=\frac{(n+1)^2+3n+5}{(n+1)^2}\\\\&=1+\frac{3n+5}{(n+1)^2}\\\\\frac{a_n}{a_{n+1}}&>1\end{aligned}$}$

$\large\text{$\begin{aligned}a_{n+1} < a_n\implies\textsf{$a_n$ turun.}\end{aligned}$}$

Kemudian,

$\large\text{$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}{a_n}&=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{(n+2)(n+1)^2}}\\&=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}1}{\lim\limits_{n\to\infty}(n+2)(n+1)^2}\\&=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}1}{\lim\limits_{n\to\infty}(n+2)\cdot\lim\limits_{n\to\infty}(n+1)^2}\\\lim_{n\to\infty}{a_n}&=0\end{aligned}$}$

Karena kedua syarat terpenuhi, maka deret tersebut konvergen.

Konvergen Mutlak dan Bersyarat

$\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Misalkan $\sum_{n=1}^{\infty}U_n\,$ dan $\forall\,{U_n}\ne0\,$.}\\&\textsf{(i)\:\:Jika $\sum_{n=1}^{\infty}\left|U_n\right|$ konvergen, maka:}\\&{\quad\:\ }\textsf{$\sum_{n=1}^{\infty}U_n$ \underline{konvergen mutlak}.}\\&\textsf{(ii) Jika $\sum_{n=1}^{\infty}\left|U_n\right|$ divergen, namun}\\&{\quad\:\ }\textsf{$\sum_{n=1}^{\infty}U_n$ konvergen, maka:}\\&{\quad\:\ }\textsf{$\sum_{n=1}^{\infty}U_n$ \underline{konvergen bersyarat}.}\\\end{aligned}$}$

Karena suku-suku pada $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\left|U_n\right|\end{aligned}$ semuanya positif, maka kita lakukan Uji Deret Positif.

Kita gunakan Uji Banding Limit, karena perpangkatan pada pembagi tetap.

$\large\text{$\begin{aligned}&L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\\&\textsf{Untuk $b_n$, dipilih: $b_n=\frac{1}{n^3}$\ .}\\\\&L=\lim_{n\to\infty}\frac{\ \dfrac{1}{(n+2)(n+1)^2}\ }{\dfrac{1}{n^3}}\\\\&{\ \;}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{(n+2)(n+1)^2}\\\\&{\ \;}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{n\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)^2}\\\\&{\ \;}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel{n^3}}{\cancel{n^3}\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}\end{aligned}$}$

$\large\text{$\begin{aligned}&L=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}\\\\&\quad\left[\ \normalsize\textsf{dengan pengecualian bentuk tak tentu} \right.\\&{\ \;}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}\end{aligned}$}$

$\large\text{$\begin{aligned}&{\ \;}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}1}{\left(\lim\limits_{n\to\infty}1+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2}{n}\right)\cdot\left(\lim\limits_{n\to\infty}1+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\right)^2}\\\\&{\ \;}=\frac{1}{(1+0)\cdot(1+0)^2}=\frac{1}{1\cdot1}\\\\&L=1\end{aligned}$}$

Nilai L = 1, artinya 0 < L < ∞.

Jika $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\end{aligned}$ konvergen, maka deret yang kita uji juga konvergen.

Uji deret-p menyatakan bahwa jika p > 1, maka deret $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}}\end{aligned}$ konvergen.

Karena pada $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\end{aligned}$ nilai p adalah 3, artinya p > 1, maka deret tersebut konvergen.

Karena $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\end{aligned}$ konvergen, berdasarkan Uji Banding Limit, $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+2)(n+1)^2}\end{aligned}$ juga konvergen.

KESIMPULAN

Telah ditunjukkan bahwa $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+2)(n+1)^2}\end{aligned}$ konvergen, atau dengan kata lain $\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{(n+2)(n+1)^2}\right|\end{aligned}$ konvergen.