Jawaban:

Besar sudut antara vektor BA dan BC adalah 60°. Nilai tersebut diperoleh dari perhitungan besar sudut antara dua vektor. Simak pembahasan berikut.

Pembahasan

Diketahui:

titik A(2, -3, 4)

titik B(4, -4, 3)

titik C(3, -5, 5)

Ditanya: Besar sudut antara vektor BA dan BC

Jawab:

Misalkan a merupakan vektor posisi dari vektor BA dan b merupakan vektor posisi dari vektor BC, serta α merupakan sudut antara vektor BA dan vektor BC, maka besar sudut antara vektor a dan b dirumuskan sebagai berikut

cos α = \frac{a.b}{|a||b|}

∣a∣∣b∣

a.b

dengan a.b merupakan perkalian skalar vektor a dan b serta |a| dan |b| merupakan panjang vektor a dan b.

karena besar dan panjang vektor posisi a dan b belum diketahui, maka dihitung terlebih dahulu panjang dan besar vektor posisi a dan b.

Besar vektor a

vektor a = vektor BA

a = A - B

a = (2, -3, 4) - (4, -4, 3)

a = (2 - 4, -3 - (-4), 4 - 3)

a = (-2, -3 + 4, 1)

a = (-2, 1, 1)

Panjang vektor a atau |a|

|a| = \sqrt{x^{2}+ y^{2}+ z^{2}}

x

2

+y

2

+z

2

|a| = \sqrt{(-2)^{2}+ 1^{2}+ 1^{2}}

(−2)

2

+1

2

+1

2

|a| = \sqrt{4+ 1+ 1}

4+1+1

|a| = \sqrt{6}

6

Besar vektor b

vektor b = vektor BC

b = C - B

b = (3, -5, 5) - (4, -4, 3)

b = (3 - 4, -5 - (-4), 5 - 3)

b = (-1, -5 + 4, 2)

b = (-1, -1, 2)

Panjang vektor b atau |b|

|b| = \sqrt{x^{2}+ y^{2}+ z^{2}}

x

2

+y

2

+z

2

|b| = \sqrt{(-1)^{2}+ (-1)^{2}+ 2^{2}}

(−1)

2

+(−1)

2

+2

2

|b| = \sqrt{1 + 1+ 4}

1+1+4

|b| = \sqrt{6}

6

Maka besar sudut antara vektor a dan b diperoleh:

cos α = \frac{a.b}{|a||b|}

∣a∣∣b∣

a.b

cos α = \frac{(-2, 1, 1).(-1, -1, 2)}{(\sqrt{6})(\sqrt{6})}

(

6

)(

6

)

(−2,1,1).(−1,−1,2)

cos α = \frac{(-2)(-1) + 1(-1) + 1(2)}{6}

6

(−2)(−1)+1(−1)+1(2)

cos α = \frac{2 - 1 + 2}{6}

6

2−1+2

cos α = \frac{3}{6}

6

3

cos α = \frac{1}{2}

2

1

α = acos (\frac{1}{2}

2

1

)

α = 60°

∴ jadi besar sudut antara vektor BA dan BC adalah 60°.