1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Misalkan fungsi f memenuhi f(x + 5) = f(x) untuk

Berikut ini adalah pertanyaan dari Corvusion pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Dasar

Misalkan fungsi f memenuhi f(x + 5) = f(x) untuk setiap x∈R. Jika \displaystyle\sf\int\limits_{1}^{5}f(x)~dx=3dan\displaystyle\sf\int\limits_{-5}^{-4}f(x)~dx=-2maka nilai\displaystyle\sf\int\limits_{5}^{15}f(x)~dx=...​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\displaystyle\int\limits_{5}^{15}f(x)\,dx = \bf2

Pembahasan

Integral Fungsi Periodik

Jika f(x)=f(x+L), maka f(x)adalahfungsi periodik, dengan periode fungsi = L.

Contoh fungsi periodik adalah fungsi sinus, yang memiliki periode fungsi = 2π.

Oleh karena itu, jika f(x+5)=f(x), maka periode f(x) adalah 5.

Untuk itu berlaku:

\begin{aligned}\int\limits_{x}^{x+5}f(x)\,dx=\int\limits_{x+5}^{x+10}f(x)\,dx\end{aligned}

sehingga untuk nilai yang ditanyakan, berlaku:

\begin{aligned}\int\limits_{5}^{15}f(x)\,dx&=\int\limits_{5}^{10}f(x)\,dx+\int\limits_{10}^{15}f(x)\,dx\\&=\int\limits_{{\bf0}+5}^{{\bf5}+5}f(x)\,dx+\int\limits_{{\bf5}+5}^{{\bf10}+5}f(x)\,dx\\&=\int\limits_{0}^{5}f(x)\,dx+\int\limits_{5}^{10}f(x)\,dx\\&=\int\limits_{0}^{5}f(x)\,dx+\int\limits_{{\bf0}+5}^{{\bf5}+5}f(x)\,dx\\&=\int\limits_{0}^{5}f(x)\,dx+\int\limits_{0}^{5}f(x)\,dx\\\int\limits_{5}^{15}f(x)\,dx&=2\int\limits_{0}^{5}f(x)\,dx\quad....(i)\end{aligned}

 

Diketahui bahwa

\displaystyle\int\limits_{-5}^{-4}f(x)\,dx=-2.

Maka:

\begin{aligned}&\int\limits_{-5}^{-4}f(x)\,dx=-2\\&\Rightarrow \int\limits_{-5+5}^{-4+5}f(x)\,dx=-2\\&\Rightarrow \int\limits_{\bf0}^{\bf1}f(x)\,dx=-2\\\end{aligned}

 

Diketahui pula bahwa

\displaystyle\int\limits_{1}^{5}f(x)\,dx=3.

Kembali ke persamaan (i).

\begin{aligned}\int\limits_{5}^{15}f(x)\,dx&=2\int\limits_{0}^{5}f(x)\,dx\\&=2\left(\int\limits_{0}^{1}f(x)\,dx+\int\limits_{1}^{5}f(x)\,dx\right)\\&=2(-2+3)\\&=2(1)\\&=\boxed{\ \bf2\ }\end{aligned}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 18 Jul 22
<< Previous Post
Next Post >>