Jawaban:

4. Ada berapa banyak pasangan terurut bilangan asli (a, b), dengan syarat a < b, FPB(a, b) = 4 serta KPK(a, b) = 140?

5. Jika faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat positif a dan b tidak kurang dari 15 dan kelipatan persekutuan terkecilnya tidak lebih dari 32, maka banyak pasangan bilangan bulat a dan b yang mungkin dengan a < b adalah …

6. Misalkan d = FPB(7n + 5, 5n + 4), dimana n adalah bilangan asli. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku d = 1 atau d = 3

500 2   n bn

7. Diberikan

) , ( 1  n n b b FPB

dari

dengan n  1. Tentukan nilai maksimum

.

8. Diketahui FPB (a, 2010) = 201. Jika a > 2010, maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah …

9. Selidiki apakah bentuk-bentuk di bawah ini merupakan pecahan dalam bentuk yang paling sederhana!

3 14 4 21   n n

2 30 4 12   n n

  2010 1 ) 11 , ( k k FPB

a.

b.

10. Nilai dari

adalah ....

11. Jika (a, b) = 1, Tunjukkan bahwa (a + b, a2 – ab + b2) = 1 atau 3.

12. Jika an = 100 + n2, n = 1, 2, 3, 4, …dan untuk setiap n, dn = (an, an+1), tentukan nilai maksimum dari dn

13. Tentukan FPB(n!+1, (n + 1)!+1)

14. Tentukkan FPB dari pasangan-pasangan bentuk berikut

2010 2   n n

a. (n , n+1)

b. (2n+1, 2n -1)

c. (2n, 2n+2)

d. (5a+3b, 13a+8b)

e. (2a-1, 2b-1)

f. (n3 + 3n + 1, 7n3 + 18n2 –n – 2)

15. Diketahui bahwa ada tepat 1 bilangan asli n sehingga kuadrat sempurna. Bilangan asli n tersebut adalah …

merupakan

Penjelasan dengan langkah-langkah:

4. Ada berapa banyak pasangan terurut bilangan asli (a, b), dengan syarat a < b, FPB(a, b) = 4 serta KPK(a, b) = 140?

5. Jika faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat positif a dan b tidak kurang dari 15 dan kelipatan persekutuan terkecilnya tidak lebih dari 32, maka banyak pasangan bilangan bulat a dan b yang mungkin dengan a < b adalah …

6. Misalkan d = FPB(7n + 5, 5n + 4), dimana n adalah bilangan asli. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku d = 1 atau d = 3

500 2   n bn

7. Diberikan

) , ( 1  n n b b FPB

dari

dengan n  1. Tentukan nilai maksimum

.

8. Diketahui FPB (a, 2010) = 201. Jika a > 2010, maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah …

9. Selidiki apakah bentuk-bentuk di bawah ini merupakan pecahan dalam bentuk yang paling sederhana!

3 14 4 21   n n

2 30 4 12   n n

  2010 1 ) 11 , ( k k FPB

a.

b.

10. Nilai dari

adalah ....

11. Jika (a, b) = 1, Tunjukkan bahwa (a + b, a2 – ab + b2) = 1 atau 3.

12. Jika an = 100 + n2, n = 1, 2, 3, 4, …dan untuk setiap n, dn = (an, an+1), tentukan nilai maksimum dari dn

13. Tentukan FPB(n!+1, (n + 1)!+1)

14. Tentukkan FPB dari pasangan-pasangan bentuk berikut

2010 2   n n

a. (n , n+1)

b. (2n+1, 2n -1)

c. (2n, 2n+2)

d. (5a+3b, 13a+8b)

e. (2a-1, 2b-1)

f. (n3 + 3n + 1, 7n3 + 18n2 –n – 2)

15. Diketahui bahwa ada tepat 1 bilangan asli n sehingga kuadrat sempurna. Bilangan asli n tersebut adalah …

merupakan Teorema 3

Jika ac, bc dan (a, b) =1, maka abc. Lemma 2 ( Lemma Euclid)

Jika a bc dan (a, b) =1, maka ac.

1 ,        db d a

Teorema 4

Jika (a, b) = d, maka

Teorema 5

Jika c bilangan bulat positif, maka (ca, cb) = c (a, b) Teorema 6

(a2,b2) = (a,b)2.

Bukti

Berdasarkan teorema 4

1 ) , ( , ) , (          b a b b a a

1 ) , ( , ) , ( 2 2 2 2          b a b b a a

Karena itu

Selanjutnya, berdasarkan teorema 4, jika kedua ruas dikalikan (a,b)2, maka

(a2,b2) = (a,b)2 Terbukti.

Teorema 7

ab = (a, b)[a, b]

Latihan FPB, KPK dan Algoritma Euclid

1. Tentukan FPB(2008,1234)

2. Tentukan KPK(23!41!, 29!37!)

3. Tentukan semua bilangan bulat positif a, b sedemikian sehingga (a, b) = 12 dan [a, b] = 432