Soal SBMPTN Luas daerah di kuadran II yang dibatasi oleh sumbu

Berikut ini adalah pertanyaan dari Syubbana pada mata pelajaran SBMPTN untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Soal SBMPTNLuas daerah di kuadran II yang dibatasi oleh sumbu y, garis y = -x, dan y = a dengan a > 2, serta terletak diatas parabola y = -x² + 2, adalah ...
A. $\frac{1}{2} (a^2-1)+\int\limits^0_ {-1} \, (x^2-1)dx$
B. $\frac{1}{2} (a^2-1)-\int\limits^0_ {-1} \, (x^2-1)dx$
C. $\frac{1}{2} (a-1)^2+\int\limits^0_ {-1} \, (x^2-1)dx$
D. $\frac{1}{2} (a^2-1)+\int\limits^0_ {-\sqrt{2} } \, (x^2-1)dx$
E. $\frac{1}{2} (a^2-1)-\int\limits^0_ {-\sqrt{2} } \, (x^2-1)dx$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Luas daerah di kuadran II yang dibatasi oleh sumbu y, garis y = -x, dan y = a dengan a > 2, serta terletak diatas parabola y = -x² + 2, adalah:
$\boxed{\:\frac{1}{2}\left(a^2-1\right)+\int_{-1}^{0}\left(x^2-1\right)dx\:}$
(opsi A)
 

Pembahasan

Menghitung Luas Daerah dengan Integral

Persoalan

Luas daerah di kuadran II yang dibatasi oleh sumbu y, garis y = -x, dan y = a dengan a > 2, serta terletak diatas parabola y = -x² + 2, adalah ...

Penyelesaian

Daerah pada kuadran II adalah daerah pada sistem koordinat Cartesius di mana x negatif dan y positif. Oleh karena itu, batas atas untuk integral luas daerah yang ditanyakan adalah $x = 0$ atau sumbu-x.

Kita perhatikan parabola $y = -x^2 + 2$ .

Koefisien $x$ sama dengan 0, artinya sumbu simetri parabola ini adalah $x = 0$ .
Koefisien $x^2$ negatif, maka parabola membuka ke bawah.
Titik puncak parabola terletak pada sumbu simetri $x = 0$ , yaitu $(0, 2)$ .
Garis $y = a$ tidak akan bersinggungan atau memotong parabola $y = -x^2 + 2$ , karena $a > 2$ .

Kita evaluasi batas-batas integralnya.

Absis titik potong garis $y=-x$ dan garis $y=a$ adalah $x=-a$ .

Absis titik potong parabola $y = -x^2 + 2$ dan garis $y=-x$ yang berada pada kuadran II ( $x$ negatif) adalah:

$\begin{aligned}-x&=-x^2+2\\x&=x^2-2\\0&=x^2-x-2\\0&=(x+1)(x-2)\\x&={\bf{-}1}\ \lor\ \cancel{x=2}\end{aligned}$

( $x = 2$ bukan absis yang dimaksud)

Ada beberapa cara untuk mencari luas daerah yang ditanyakan. Salah satunya adalah dengan selisih luas 2 daerah, yaitu luas daerah yang dibatasi oleh $y=a$ dan $y=-x$ pada interval $-a \le x \le 0$ , kita sebut sebagai $L_1$ , dikurangi luas daerah yang dibatasi oleh parabola $y = -x^2 + 2$ dan garis $y=-x$ pada interval $-1 \le x \le 0$ , kita sebut sebagai $L_2$ .

Maka, luas daerah yang kita cari, dengan penyelesaian yang memperhatikan opsi jawaban yang tersedia, dapat dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}\bf L\:&=\:L_1\:-\:L_2\\&=\int_{-a}^{0}\big(a-(-x)\big)\,dx-\int_{-1}^{0}\left(-x^2+2-(-x)\right)dx\\&=\int_{-a}^{0}\big(a+x\big)\,dx-\int_{-1}^{0}\left(-x^2+x+2\right)dx\\&=\int_{-a}^{0}\big(a+x\big)\,dx+\int_{-1}^{0}\left(x^2-x-2\right)dx\\&=\int_{-a}^{0}\big(a+x\big)\,dx+\int_{-1}^{0}\left(x^2-1-(x+1)\right)dx\\&=\int_{-a}^{0}\big(a+x\big)\,dx-\int_{-1}^{0}\left(x+1\right)dx+\int_{-1}^{0}\left(x^2-1\right)dx\end{aligned}$
$\begin{aligned}\bf L\:&=\left[ax+\frac{x^2}{2}\right]_{-a}^{0}-\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^{0}+\int_{-1}^{0}\left(x^2-1\right)dx\\&=0-\left(-a^2+\frac{a^2}{2}\right)-\left(0-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right)+\int_{-1}^{0}\left(x^2-1\right)dx\\&=\frac{a^2}{2}-\frac{1}{2}+\int_{-1}^{0}\left(x^2-1\right)dx\end{aligned}$