Q [ Math : Pertidaksamaan Polinomial ]Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Dasar

Q [ Math : Pertidaksamaan Polinomial ]Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan (x² - 6x + 5)²(x² + 3x - 28)(x + 8) ≥ 0

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

HP = { x | –8 ≤ x ≤ 7 atau x = 1 atau x ≥ 4,  x ∈ ℝ }

Pembahasan

Pertidaksamaan Polinomial

Diberikan pertidaksamaan polinomial:

\left(x^2-6x+5\right)^2\left(x^2+3x-28\right)\left(x+8\right)\: \ge \:0

Penyelesaian

Dengan memfaktorkan polinomial, kita memperoleh:

\begin{aligned}&\left(x^2-6x+5\right)^2\left(x^2+3x-28\right)\left(x+8\right)\: \ge \:0\\&\Rightarrow\left[\,(x-1)(x-5)\,\right]^2(x-4)\,(x+7)\,(x+8)\: \ge \:0\\&\therefore\ (x-1)^2\,(x-5)^2\,(x-4)\,(x+7)\,(x+8)\: \ge \:0\\\end{aligned}

Identifikasi interval

Dari faktor-faktor di atas, dari yang terkecil, titik kritisnya adalah:
x = –8, x = –7, x = 1, x = 4, x = 5

Cukup perhatikan (x–4)(x+7)(x+8), karena (x–1)²(x–5)² pasti > 0 (memenuhi pertidaksamaan).

  • Untuk x < –8:
    (x–4)(x+7)(x+8)
    = (–)(–)(–)
    = (–)  < 0
    BUKAN merupakan solusi
  • Untuk x = –8:
    merupakan solusi karena merupakan pembuat nol polinomial
  • Untuk –8 < x < –7:
    (x–4)(x+7)(x+8)
    = (–)(–)(+)
    = (+)  > 0
    merupakan solusi
  • Untuk x = –7:
    merupakan solusi karena merupakan pembuat nol polinomial
  • Untuk –7 < x < 1:
    (x–4)(x+7)(x+8)
    = (–)(+)(+)
    = (–)  < 0
    BUKAN merupakan solusi
  • Untuk x = 1:
    ⇒ merupakan solusi karena merupakan pembuat nol polinomial
  • Untuk 1 < x < 4:
    (x–4)(x+7)(x+8)
    = (–)(+)(+)
    = (–)  < 0
    BUKAN merupakan solusi
  • Untuk x = 4:
    merupakan solusi karena merupakan pembuat nol polinomial
  • Untuk 4 < x < 5:
    (x–4)(x+7)(x+8)
    = (+)(+)(+)
    = (+)  > 0
    merupakan solusi
  • Untuk x = 5:
    merupakan solusi karena merupakan pembuat nol polinomial
  • Untuk x > 5:
    (x–4)(x+7)(x+8)
    = (+)(+)(+)
    = (+)  > 0
    merupakan solusi

Kemudian, gabungkan nilai dan interval yang merupakan solusi.
(x = –8) atau  (–8 < x < –7) atau  (x = –7) atau  (x = 1) atau  (x = 4) atau  (4 < x < 5) atau  (x = 5) atau  (x > 5)
(–8 ≤ x ≤ 7) atau (x = 1) atau (x ≥ 4)

Maka, interval solusi untuk x adalah:
–8 ≤ x ≤ 7  atau  x = 1  atau  x ≥ 4

KESIMPULAN

∴  Himpunan penyelesaian pertidaksamaan \left(x^2-6x+5\right)^2\left(x^2+3x-28\right)\left(x+8\right)\: \ge \:0 adalah:

HP = { x | –8 ≤ x ≤ 7 atau x = 1 atau x ≥ 4,  x ∈ ℝ }

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 25 Jul 22