a = –40 dan b = 79
 

Pembahasan

Teori Bilangan: Algoritma Pembagian dan Aplikasinya

Diketahui

• 314a + 159b = 1

Ditanyakan

• Nilai a dan b yang memenuhi

PENYELESAIAN

Jika a dan b bilangan real, tentu akan terdapat tak terbatas solusi.

Jika a dan b bilangan bulat, kita dapat menyelesaikannya dengan algoritma pembagian Euclidean (algoritma pembagian berkali-kali).

• 314 = 1×159 + 155
• 159 = 1×155 + 4
• 155 = 38×4 + 3
• 4 = 1×3 + 1
• 3 = 3×1 + 0  (selesai)

Untuk menemukan nilai bilangan a dan b, kita telusuri algoritma di atas secara terbalik.

Pada langkah sebelum langkah terakhir, kita mendapatkan:
4 = 1×3 + 1

Karena ruas kanan 314a + 159b = 1 adalah 1, maka penelusuran dimulai dari langkah tersebut.

1 = 4 – 1×3
  = 4 – 1×(155 – 38×4)
  = 4 – 155 + 38×4
  = 39×4 – 155
  = 39×(159 – 1×155) – (314 – 1×159)
  = 39×[159 – (314 – 1×159)] – (314 – 1×159)
  = 39×159 – 39×314 + 39×159 – 314 + 159
  = 159(39 + 39 +1) + 314(–39 – 1)
  = 159(79) + 314(–40)
  = 314(–40) + 159(79)
⇒ Diperoleh: a = –40danb = 79

Pemeriksaan
314(–40) + 159(79)
= –12560 + 12561
= 1  
⇒ benar, sesuai persamaan 314a + 159b = 1
 

KESIMPULAN

∴  Nilai a dan b sehingga 314a + 159b = 1 adalah:
a = –40 dan b = 79