1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

buktikan mengunakan induksi matematika 1.) 1²+3²+5²+......+(2n-1)²=n(2n-1) (2n+1) 2 .) jumlah

Berikut ini adalah pertanyaan dari dearplita pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Dasar

Buktikan mengunakan induksi matematika1.) 1²+3²+5²+......+(2n-1)²=n(2n-1) (2n+1)


2 .) jumlah pangkat 3 dari tiga bilangan bulat positif berurutkan selalu habis dibagi tiga


tolong di jawab ya kak​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nomor 1 (sesuai pertanyaan)
1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2n-1)^2=n(2n-1)(2n+1) tidak terbukti.

Nomor 1 (setelah dikoreksi)
1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2n-1)^2=\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}
terbukti benar dan berlaku untuk setiap n ∈ bilangan asli.

Nomor 2

Pernyataan “Jumlah pangkat 3 dari tiga bilangan bulat positif berurutan selalu habis dibagi tiga.” terbukti benar.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Nomor 1

Persamaan yang ingin dibuktikan adalah:

\begin{aligned}P(n):1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2n-1)^2=n(2n-1)(2n+1)\end{aligned}

LANGKAH PEMBUKTIAN

Langkah 1: Basis Induksi

Untuk n=1, P(1):1^2=1(2-1)(2+1) merupakan pernyataan yang SALAH.

Oleh karena itu, persamaan yang diberikan, yaitu:

1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2n-1)^2=n(2n-1)(2n+1)

TIDAK TERBUKTI.
________________

Karena mungkin saja terdapat kesalahan pada soal, saya coba koreksi soalnya.

Nomor 1 (Koreksi Soal)

Persamaan yang ingin dibuktikan adalah:

\begin{aligned}P(n):1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}\end{aligned}

LANGKAH PEMBUKTIAN

Langkah 1: Basis Induksi

Untuk n=1,

\begin{aligned}P(1):1^2=\frac{1(2-1)(2+1)}{3}\end{aligned}

merupakan pernyataan yang benar.

Langkah 2: Asumsi/Hipotesis

Andaikan persamaan benar untuk n=k, yaitu:

\begin{aligned}P(k):1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2k-1)^2=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}\end{aligned}

maka perlu dibuktikan bahwa persamaan benar pula untuk n=k+1, yaitu:

\begin{aligned}&P(k+1):1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2k-1)^2+(2k+1)^2\\&\qquad\qquad=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}\end{aligned}

Langkah 3: Langkah Induksi

\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}\\&{=\ }\underbrace{1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2k-1)^2}_{\begin{matrix}P(k)\end{matrix}}+(2k+1)^2\\&{=\ }\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2\\&{=\ }\frac{k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^2}{3}\\&{=\ }\left(\frac{2k+1}{3}\right)\left[k(2k-1)+3(2k+1)\right]\\&{=\ }\left(\frac{2k+1}{3}\right)\left[2k^2-k+6k+3\right]\\&{=\ }\left(\frac{2k+1}{3}\right)\left[2k^2+5k+3\right]\\&{=\ }\left(\frac{2k+1}{3}\right)\left[2k^2+3k+2k+3\right]\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\left(\frac{2k+1}{3}\right)\left[k(2k+3)+1(2k+3)\right]\\&{=\ }\left(\frac{2k+1}{3}\right)(2k+3)(k+1)\\&{=\ }\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}\\&{=\ }\textsf{Ruas kanan}.\end{aligned}

Ruas kiri = ruas kanan, maka persamaan terbukti benar pula untuk n=k+1.

KESIMPULAN

∴ Telah ditunjukkan bahwa P(1) terbukti benar, dan dengan asumsi P(n)benar untukn=k, P(k+1) juga terbukti benar.

Oleh karena itu,
1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2n-1)^2=\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}
terbukti benar dan berlaku untuk n ∈ bilangan asli.
\blacksquare
 

Nomor 2

Pernyataan yang ingin dibuktikan adalah:

“Jumlah pangkat 3 dari tiga bilangan bulat positif berurutan selalu habis dibagi tiga.“

Dalam notasi matematika:

\begin{aligned}&P(n):\ 3\mid \left[n^3+(n+1)^3+(n+2)^3\right]\\&\qquad\text{dengan $n\in$ bilangan bulat positif.}\end{aligned}

3\mid \left[n^3+(n+1)^3+(n+2)^3\right] dibaca ”3 habis membagi n^3+(n+1)^3+(n+2)^3“.

LANGKAH PEMBUKTIAN

Langkah 1: Basis Induksi

Untuk n=1, 1^3+2^3+3^3=1+8+27=36, sehingga pernyataan menjadi 3\mid 36 (3 habis membagi 36).
Pernyataan ini merupakan pernyataan yang benar, karena 36 adalah kelipatan 3.

Langkah 2: Asumsi/Hipotesis

Andaikan pernyataan benar untuk n=k, yaitu:

\begin{aligned}&P(k):\ 3\mid \left[k^3+(k+1)^3+(k+2)^3\right]\end{aligned}

maka perlu ditunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar pula untuk n=k+1, yaitu

\begin{aligned}&P(k+1):\ 3\mid \left[(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3\right]\end{aligned}

Langkah 3: Langkah Induksi

\begin{aligned}&(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3\\&{=\ }(k+1)^3+(k+2)^3+k^3+3\cdot3k^2+3\cdot3^2k+3^3\\&{=\ }(k+1)^3+(k+2)^3+k^3+9k^2+27k+27\\&{=\ }\underbrace{k^3+(k+1)^3+(k+2)^3}_{\begin{matrix}\textsf{Habis dibagi 3}\\\textsf{berdasarkan asumsi.}\end{matrix}}+9k^2+27k+27\\&{=\ }3K_1+9k^2+27k+27\,,\ K_1\in\mathbb{N}\\&{=\ }3\left(K_1+3k^2+9k+9\right)\\&{=\ }3K_2\,,\ K_2\in\mathbb{N}\end{aligned}

Karena 3\mid3K_2 (3 habis membagi 3K_2), maka dapat disimpulkan bahwa:

\begin{aligned}&P(k+1):\ 3\mid \left[(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3\right]\end{aligned}

terbukti benar.

KESIMPULAN

∴ Telah ditunjukkan bahwa P(1) terbukti benar, dan dengan asumsi P(n)benar untukn=k, P(k+1) juga terbukti benar.
Oleh karena itu,
3\mid \left[n^3+(n+1)^3+(n+2)^3\right]
terbukti benar dan berlaku untuk n ∈ bilangan bulat positif (bilangan asli).

Sehingga pernyataan “Jumlah pangkat 3 dari tiga bilangan bulat positif berurutan selalu habis dibagi tiga.“ terbukti benar.
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 16 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>