Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan solusi persamaan diferensial y" + 2y' = 4x², pertama-tama kita harus mencari fungsi yang memenuhi persamaan tersebut. Ini dapat dilakukan dengan metode penyelesaian numerik, seperti metode Euler atau Runge-Kutta, atau dengan mencari solusi analitik dari persamaan tersebut.

Solusi analitik dari persamaan ini dapat dicari dengan menggunakan teorema variabel separable. Dengan menggunakan teorema tersebut, persamaan y" + 2y' = 4x² dapat ditulis sebagai:

$$\frac{dy}{dx} + 2y = 4x^2$$

Kemudian, kita bisa memisahkan variabel y dan x pada persamaan di atas sehingga mendapatkan bentuk:

$$\frac{dy}{y} + 2dx = 4x^2 dx$$

Setelah itu, kita bisa menyelesaikan integral kanan dan kiri persamaan tersebut, sehingga mendapatkan solusi dari persamaan tersebut:

$$\int \frac{dy}{y} = \int 4x^2 dx$$

Dengan menyelesaikan integral tersebut, kita mendapatkan:

$$\ln |y| = \frac{4}{3} x^3 + C$$

Di mana C merupakan konstanta yang harus kita tentukan dengan menggunakan syarat awal yang diberikan. Kemudian, kita bisa menghitung fungsi y dengan menghitung eksponen dari persamaan di atas:

$$y = Ce^{\frac{4}{3} x^3}$$

Di mana C merupakan konstanta yang harus kita tentukan dengan menggunakan syarat awal yang diberikan. Dengan menggunakan syarat awal yang tepat, kita dapat menentukan nilai C dan mendapatkan solusi persamaan diferensial y" + 2y' = 4x².