1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

28. Perhatikan gambar berikut!Daerah arsiran dipular mengelilingi sumbu X. volume

Berikut ini adalah pertanyaan dari reztalala pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Dasar

28. Perhatikan gambar berikut!Daerah arsiran dipular mengelilingi sumbu X. volume benda pularnya adalah
tolong bantu teman" yang baik​
28. Perhatikan gambar berikut!Daerah arsiran dipular mengelilingi sumbu X. volume benda pularnya adalahtolong bantu teman

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Volume benda putardari daerah arsiran yang diputarmengelilingi sumbu X adalah:
\boxed{\,\bf\frac{1}{3}\pi\ satuan\ volume\,}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Daerah arsiran (seperti tampak pada gambar yang diberikan) adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah fungsi kuadrat, yaitu f:y=x^2dang:-x^2+2x. Dari gambar sebenarnya sudah dapat diketahui bahwa titik potong antara kurva fdangterdapat pada titik(0, 0)dan(1, 1). Namun, agar lebih pasti, kita hitung saja.

\begin{aligned}f&=g\\x^2&=-x^2+2x\\2x^2-2x&=0\\2(x^2-x)&=0\\x^2-x&=0\\x(x-1)&=0\\\therefore\ x=0\ &{\sf atau}\ x=1\end{aligned}

  • Untuk x=0: f(0) = 0 \implies (0,0)
  • Untuk x=1: f(1) = 1 \implies (1,1)

Maka benar bahwa kedua titik potong tersebut adalah (0,0)dan(1,1).

Kita bisa menggunakan setidaknya 2 cara untuk menghitung volume benda putarnya, yaitu dengan metode cakram dan metode kulit tabung.

CARA 1: Metode Cakram

Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh fungsi fdangdengan|f| \ge |g|pada intervalx = [a, b], yang diputar mengelilingi sumbu X diberikan oleh:

\begin{aligned}V&=\pi\int_a^b\left([f(x)]^2-[g(x)]^2\right)dx\end{aligned}

Dari kedua titik potong, batas-batasnya adalah:

a = x_1=0,\ b = x_2=1

Kita perhatikan grafiknya. Pada rentang ini, |g(x)| \ge |f(x)|.

Maka:

\begin{aligned}V&=\pi\int_a^b\left([g(x)]^2-[f(x)]^2\right)dx\\&=\pi\int_0^1\left[\left(-x^2+2x\right)^2-\left(x^2\right)^2\right]dx\\&=\pi\int_0^1\left[\left(x^4-4x^3+4x^2\right)-x^4\right]dx\\&=\pi\int_0^1\left[-4x^3+4x^2\right]dx\\&=\pi\left[-x^4+\frac{4}{3}x^3\right]_0^1\\&=\pi\left[\left(-1+\frac{4}{3}\right)-0\right]\\&=\pi\cdot\frac{1}{3}\\V&=\boxed{\,\bf\frac{1}{3}\pi\ satuan\ volume\,}\end{aligned}
\blacksquare

CARA 2: Metode Kulit Tabung

Dengan metode kulit tabung, batas-batas daerah yang diputar mengelilingi sumbu Xadalahordinat dari titik potong kedua fungsi.

Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh fungsi fdangdengan|f(y)| \ge |g(y)|pada intervaly = [a, b], yang diputar mengelilingi sumbu X diberikan oleh:

\begin{aligned}V&=2\pi\int_a^b xy\,dy\\&=2\pi\int_a^b \left(f(y)-g(y)\right)y\,dy\\\end{aligned}

Kita perlu mencari f(y)dang(y).

\begin{aligned}\bullet\ &f:y=x^2\\&\Rightarrow x=f(y)=\pm\sqrt{y}\\&\quad\textsf{Karena $0 \le x \le 1$}:\\&\Rightarrow f(y)=\sqrt{y}\\\bullet\ &g:y=-x^2+2x\\&\Rightarrow -y=x^2-2x\\&\Rightarrow -y+1=x^2-2x+1\\&\Rightarrow -y+1=(x-1)^2\\&\Rightarrow x-1=\pm\sqrt{-y+1}\\&\Rightarrow x=g(y)=1\pm\sqrt{-y+1}\\&\quad\textsf{Karena $0 \le x \le 1$}:\\&\Rightarrow g(y)=1-\sqrt{-y+1}\\\end{aligned}

Dari kedua titik potong, batas-batasnya adalah:

a = y_1=0,\ b = y_2=1

Pada rentang ini, terhadap sumbu Y, |f(y)| \ge |g(y)|.

Maka:

\begin{aligned}V&=2\pi\int_a^b \left(f(y)-g(y)\right)y\,dy\\&=2\pi\int_0^1 \left(\sqrt{y}-\left(1-\sqrt{-y+1}\right)\right)y\,dy\\&=2\pi\int_0^1 \left(\sqrt{y}-1+\sqrt{-y+1}\right)y\,dy\\&=2\pi\int_0^1 \left(y\sqrt{y}-y+y\sqrt{-y+1}\right)dy\\&=2\pi\int_0^1 \left(y^{3/2}-y+y\sqrt{-y+1}\right)dy\\&=2\pi\left[\int_0^1 \left(y^{3/2}-y\right)dy+\int_0^1 \left(y\sqrt{-y+1}\right)dy\right]\end{aligned}
\begin{aligned}&\quad\textsf{Ambil $u=-y+1\Rightarrow y=-u+1,\ dy=(-1)du$}\\&\quad y=0\Rightarrow u=1,\ y=1\Rightarrow u=0\\V&=2\pi\left[\left[\frac{y^{3/2+1}}{3/2+1}-\frac{y^2}{2}\right]_0^1+\int_1^0\left((-u+1)\sqrt{u}\right)(-1)du\right]\\&=2\pi\left[\left[\frac{y^{5/2}}{5/2}-\frac{y^2}{2}\right]_0^1-\int_1^0\left((-u+1)\sqrt{u}\right)du\right]\\&=2\pi\left[\left[\frac{2y^2\sqrt{y}}{5}-\frac{y^2}{2}\right]_0^1+\int_0^1\left(-u^{3/2}+u^{1/2}\right)du\right]\end{aligned}
\begin{aligned}&=2\pi\left[\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{2}\right)+\left[-\frac{2u^2\sqrt{u}}{5}+\frac{2u\sqrt{u}}{3}\right]_0^1\right]\\&=2\pi\left[\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\right)\right]\\&=2\pi\left[-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right]\\&=2\pi\left[-\frac{3}{6}+\frac{4}{6}\right]\\&=2\pi\cdot\frac{1}{6}\\V&=\boxed{\,\bf\frac{1}{3}\pi\ satuan\ volume\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 01 Feb 23
<< Previous Post
Next Post >>