jika ada 2 persamaan, misalkan x + y = c, dan xy = d, kedua persamaan tersebut bisa dibentuk ke dalam bentuk persamaan kuadrat u² - (x + y)u + xy = 0

jawab :

I. 1. x + y = 4

xy = 2

u² - (x + y)u + xy = 0

u² - 4u + 2 = 0

kita cari nilai u, bisa menggunakan pemfaktoran, rumus kuadratik, atau melengkapkan kuadrat

u² - 4u = -2

u² - 4u + 4 = -2 + 4

(u - 2)² = 2

u - 2 = ±√2

u = 2 ± √2

x = 2 + √2

y = 2 - √2

dan sebaliknya

2. x + y = 5

xy = -6

u² - (x + y)u + xy = 0

u² - 5u - 6 = 0

u² - 5u = 6

u² - 5u + 25/4 = 6 + 25/4

(u - 5/2)² = 49/4

u - 5/2 = ±7/2

u = 5/2 ± 7/2

u1 = 5/2 + 7/2

u1 = 6

u2 = 5/2 - 7/2

u2 = -1

x = 6

y = -1

dan sebaliknya

3. x + y = √3 + 1

xy = √3

dalam sistem persamaan ini, sudah jelas x = √3, dan y = 1, tapi kita lihat caranya.

u - (x + y)u + xy = 0

u - (√3 + 1)u + √3 = 0

gunakan rumus kuadratik.

u = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

u = (√3 + 1 ± √((√3 + 1)² - 4(1)(√3)) / 2(1)

u = (√3 + 1 ± √((√3 + 1)² - 4√3) / 2

u = (√3 + 1 ± √(4 + 2√3 - 4√3) / 2

u = (√3 + 1 ± √(4 - 2√3) / 2

ada akar di dalam akar, kita cari bentuk kuadrat sempurna dari 4 - 2√3, sehingga kita bisa menghilangkan akar

4 - 2√3

= 3 - 2√3 + 1

= √3² - 2√3 + 1²

= √3² - 2√3(1) + 1²

= (√3 - 1)²

masukkan ke rumus tadi

u = (√3 + 1 ± √(√3 - 1)²) / 2

u = (√3 + 1 ± (√3 - 1)) / 2

u1 = (√3 + 1 + √3 - 1) / 2

u1 = 2√3 / 2

u1 = √3

u2 = (√3 + 1 - (√3 - 1)) / 2

u2 = (√3 + 1 - √3 + 1) / 2

u2 = 2/2

u2 = 1

x = √3

y = 1

dan sebaliknya

II. 1. x + y = 4

x² - xy + y² = 22

x² - xy + y² = 22

(x + y)² - 3xy = 22

4² - 3xy = 22

16 - 3xy = 22

3xy = -6

xy = -2

u² - (x + y)u + xy = 0

u² - 4u - 2 = 0

u² - 4u = 2

u² - 4u + 4 = 2 + 4

(u - 2)² = 6

u - 2 = ±√6

u = 2 ± √ 6

x = 2 + √6

y = 2 - √6

2. xy = 3

x² + y² = 10

x² + y² = 10

x² + y² + 2xy = 10 + 2xy

(x + y)² = 10 + 2(3)

(x + y)² = 16

x + y = ±4

kita lihat beberapa kasus, jika x + y = 4 :

x + y = 4

xy = 3

u² - (x + y)u + xy = 0

u² - 4u + 3 = 0

u² - 4u = -3

u² - 4u + 4 = -3 + 4

(u - 2)² = 1

u - 2 = ± 1

u1 = 1 + 2

u1 = 3

u2 = -1 + 2

u2 = 1

x = 3

y = 1

dan sebaliknya

jika x + y = -4 :

x + y = -4

xy = 3

u² - (x + y)u + xy = 0

u² + 4u + 3 = 0

u² + 4u = -3

u² + 4u + 4 = -3 + 4

(u + 2)² = 1

u + 2 = ±1

u1 = 1 - 2

u1 = -1

u2 = -1 - 2

u2 = -3

x = -1

y = -3

dan sebaliknya

3. xy = 2

x² + y² = 4

x² + y² = 4

x² + y² + 2xy = 4 + 2xy

(x + y)² = 4 + 2(2)

(x + y)² = 8

x + y = ±√8

jika x + y = √8 :

x + y = √8

xy = 2

u² - (x + y)u + xy = 0

u² - √8 u + 2 = 0

u² - √8 u = -2

u² - √8 u + 2 = -2 + 2

(u - √2)² = 0

u - √2 = 0

u = √2

x = y = √2

jika x + y = -√8 :

u² - (x + y)u + xy = 0

u² + √8 u + 2 = 0

u² + √8 u = -2

u² + √8 u + 2 = -2 + 2

(u + √2)² = 0

u + √2 = 0

u = -√2

x = y = -√2