1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tolong bantuin saya!! Pertanyaan : 1. Jika 2 vektor v = (2a,

Berikut ini adalah pertanyaan dari omsed91203 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Dasar

Tolong bantuin saya!!Pertanyaan :
1. Jika 2 vektor v = (2a, 3a, -1) dan w = (4, a, 3) saling tegak lurus maka ada dua nilai a yang memenuhi, jumlah kedua nilai a tersebut adalah

2. Titik A (2, 3, 4) dan C (x, y, z) berada pada suatu garis jika vektor AB : vektor BC = 1 : 3, maka x + y + z adalah

3. Persamaan lingkaran yang menyinggung garis y = -\frac{3}{4} (x - 16) pada titik (4,1) dan berjari - jari 5 adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nomor 1
Jika 2 vektor \vec{v} = (2a, 3a, -1) dan \vec{w} = (4, a, 3) saling tegak lurus, maka ada dua nilai a yang memenuhi. Jumlah kedua nilai atersebut adalah–8/3.

Nomor 2
Titik A(2, 3, 4), B(3, -1, 2), dan C (x, y, z) berada pada suatu garis. Jika vektor \overrightarrow{AB} : vektor \overrightarrow{BC} = 1 : 3, maka x + y + zadalah–11.

Nomor 3
Terdapat dua alternatif persamaan lingkaran yang menyinggung garis y = –¼(3x–16) pada titik (4,1) dan berjari-jari 5, yaitu

  • (x–1)² + (y+3)² = 5² atau
  • (x–7)² + (y–5)² = 5².

Untuk soal nomor 3 ini, terdapat ilustrasi pada gambar.

Catatan koreksi soal:

  • Penambahan data koordinat B(3, 1, -2) pada soal nomor 2.
  • Koreksi persamaan garis singgung pada soal nomor 3.

_________________

Pembahasan

Nomor 1: Vektor

Jika \vec{v}\perp\vec{w}, maka hasil perkalian dot antara keduanya sama dengan 0.

\begin{aligned}(\vec{v}&\perp\vec{w})\\\Rightarrow 0&=\vec{v}\cdot\vec{w}\\&=(2a, 3a, -1)\cdot(4, a, 3)\\ 0&=8a+3a^2-3\\\Rightarrow 0&=3a^2+8a-3\\\end{aligned}

Kita memperoleh persamaan kuadrat yang memiliki 2 akar, atau 2 nilai a yang memenuhi. Kita tidak perlu mencari akar-akar tersebut. Jika a_1dana_2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut, dengan A=3, B=8, dan C=-3, maka jumlah akar-akarnya dinyatakan oleh:

\begin{aligned}a_1+a_2&=-\frac{B}{A}=\boxed{\,-\bf\frac{8}{3}\,}\end{aligned}

Jika kita selesaikan dengan mencari akar-akarnya, kita akan memperoleh a = 1/3 atau a = –3, yang jumlahnya adalah –8/3.

\blacksquare

Nomor 2: Vektor

Titik A(2, 3, 4), B(3, -1, 2)danC (x, y, z) berada pada suatu garis, dengan perbandingan \overrightarrow{AB} : \overrightarrow{BC} = 1 : 3.

Maka:

\begin{aligned}\overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\\begin{pmatrix}x-2\\y-3\\z-4\end{pmatrix}&=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AB}\\&=4\begin{pmatrix}3-2\\-1-3\\2-4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\-4\\-2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x-2\\y-3\\z-4\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}4\\-16\\-8\end{pmatrix}\end{aligned}

Tanpa menghitung nilai x, y, dan z, dapat diperoleh:

\begin{aligned}x-2&=4\\y-3&=-16\\z-4&=-8\\\textsf{--------}&\textsf{-----------}\:+\\x+y+z-9&=-20\\\therefore x+y+z&=\boxed{\,\bf{-}11\,}\\\end{aligned}

\blacksquare

Nomor 3: Persamaan Lingkaran

Dengan jari-jari 5 satuan dan pusat P(a, b), persamaan lingkarannya adalah:
L:(x-a)^2+(y-b)^2=5^2

Dari persamaan garis singgung y = –¼(3x–16) yang menyinggung lingkaran Ldi titik(4,1), kita dapat mencari sebuah garis lain, misalkan disebut garis g, yang tegak lurus dengan garis singgung. Garis gpasti melalui titik(4,1)dan titik pusat lingkaranP(a, b).

Garis g memiliki gradien (–1)/(–¼×3) = 4/3.

Gradien sebuah garis lurus merupakan perbandingan antara selisih ordinat dengan selisih absis dari dua titik yang terletak pada garis lurus tersebut. Jadi, dapat diambil:
⇒ Δy = 4, Δx = 3

\begin{aligned}\bullet\ &\Delta x=\left|x_1-a\right|=3\\&(x_1=4)\\&\Rightarrow |4-a|=3\\&\Rightarrow a_1=1\,,\ a_2=7\\\bullet\ &\Delta y=\left|y_1-b\right|=4\\&(y_1=1)\\&\Rightarrow |1-b|=4\\&\Rightarrow b_1=-3\,,\ b_2=5\\\end{aligned}

Kita memperoleh 2 alternatif titik pusat lingkaran L, yaitu P_1(\bf1, -3)danP_2(\bf7, 5).

Cara lainnya

Dengan vektor, kita juga dapat mencari titik P(a, b).

Karena gradien garis g adalah 4/3, jika titik singgungnya adalah Q(4,1), maka vektor yang terbentuk antara titik pusat P(a, b) dengan titik singgung tersebut dapat dinyatakan oleh:

\overrightarrow{P_1Q}=\overrightarrow{QP_2}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}

sehingga:

\begin{aligned}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\overrightarrow{P_1Q}=\vec{q}-\vec{p_1}\\\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}4-a\\1-b\end{pmatrix}\\\Rightarrow\ a&=1,b=-3\ \therefore\ P_1(\bf1,-3)\end{aligned}

\begin{aligned}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\overrightarrow{QP_2}=\vec{p_2}-\vec{q}\\\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a-4\\b-1\end{pmatrix}\\\Rightarrow\ a&=7,b=5\ \therefore P_2(\bf7,5)\end{aligned}

Kita memperoleh hasil yang sama.

Persamaan lingkaran yang memenuhi pernyataan pada soal adalah:

\large\text{$\begin{aligned}\bullet\ &(x-1)^2+(y+3)^2=5^2\\\bullet\ &(x-7)^2+(y-5)^2=5^2\\\end{aligned}$}

\blacksquare

Nomor 1Jika 2 vektor [tex]\vec{v}[/tex] = (2a, 3a, -1) dan [tex]\vec{w}[/tex] = (4, a, 3) saling tegak lurus, maka ada dua nilai [tex]a[/tex] yang memenuhi. Jumlah kedua nilai [tex]a[/tex] tersebut adalah –8/3.Nomor 2Titik [tex]A(2, 3, 4)[/tex], [tex]B(3, -1, 2)[/tex], dan [tex]C (x, y, z)[/tex] berada pada suatu garis. Jika vektor [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] : vektor [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] = 1 : 3, maka [tex]x + y + z[/tex] adalah –11.Nomor 3Terdapat dua alternatif persamaan lingkaran yang menyinggung garis y = –¼(3x–16) pada titik (4,1) dan berjari-jari 5, yaitu (x–1)² + (y+3)² = 5² atau(x–7)² + (y–5)² = 5².Untuk soal nomor 3 ini, terdapat ilustrasi pada gambar.Catatan koreksi soal:Penambahan data koordinat [tex]B(3, 1, -2)[/tex] pada soal nomor 2.Koreksi persamaan garis singgung pada soal nomor 3._________________PembahasanNomor 1: VektorJika [tex]\vec{v}\perp\vec{w}[/tex], maka hasil perkalian dot antara keduanya sama dengan 0.[tex]\begin{aligned}(\vec{v}&\perp\vec{w})\\\Rightarrow 0&=\vec{v}\cdot\vec{w}\\&=(2a, 3a, -1)\cdot(4, a, 3)\\ 0&=8a+3a^2-3\\\Rightarrow 0&=3a^2+8a-3\\\end{aligned}[/tex]Kita memperoleh persamaan kuadrat yang memiliki 2 akar, atau 2 nilai [tex]a[/tex] yang memenuhi. Kita tidak perlu mencari akar-akar tersebut. Jika [tex]a_1[/tex] dan [tex]a_2[/tex] adalah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut, dengan [tex]A=3[/tex], [tex]B=8[/tex], dan [tex]C=-3[/tex], maka jumlah akar-akarnya dinyatakan oleh:[tex]\begin{aligned}a_1+a_2&=-\frac{B}{A}=\boxed{\,-\bf\frac{8}{3}\,}\end{aligned}[/tex]Jika kita selesaikan dengan mencari akar-akarnya, kita akan memperoleh a = 1/3 atau a = –3, yang jumlahnya adalah –8/3.[tex]\blacksquare[/tex]Nomor 2: VektorTitik [tex]A(2, 3, 4)[/tex], [tex]B(3, -1, 2)[/tex] dan [tex]C (x, y, z)[/tex] berada pada suatu garis, dengan perbandingan [tex]\overrightarrow{AB} : \overrightarrow{BC} = 1 : 3[/tex]. Maka:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\\begin{pmatrix}x-2\\y-3\\z-4\end{pmatrix}&=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AB}\\&=4\begin{pmatrix}3-2\\-1-3\\2-4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\-4\\-2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x-2\\y-3\\z-4\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}4\\-16\\-8\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]Tanpa menghitung nilai x, y, dan z, dapat diperoleh:[tex]\begin{aligned}x-2&=4\\y-3&=-16\\z-4&=-8\\\textsf{--------}&\textsf{-----------}\:+\\x+y+z-9&=-20\\\therefore x+y+z&=\boxed{\,\bf{-}11\,}\\\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]Nomor 3: Persamaan LingkaranDengan jari-jari 5 satuan dan pusat [tex]P(a, b)[/tex], persamaan lingkarannya adalah:[tex]L:(x-a)^2+(y-b)^2=5^2[/tex]Dari persamaan garis singgung y = –¼(3x–16) yang menyinggung lingkaran [tex]L[/tex] di titik [tex](4,1)[/tex], kita dapat mencari sebuah garis lain, misalkan disebut garis [tex]g[/tex], yang tegak lurus dengan garis singgung. Garis [tex]g[/tex] pasti melalui titik [tex](4,1)[/tex] dan titik pusat lingkaran [tex]P(a, b)[/tex]. Garis [tex]g[/tex] memiliki gradien (–1)/(–¼×3) = 4/3. Gradien sebuah garis lurus merupakan perbandingan antara selisih ordinat dengan selisih absis dari dua titik yang terletak pada garis lurus tersebut. Jadi, dapat diambil:⇒ Δy = 4, Δx = 3 [tex]\begin{aligned}\bullet\ &\Delta x=\left|x_1-a\right|=3\\&(x_1=4)\\&\Rightarrow |4-a|=3\\&\Rightarrow a_1=1\,,\ a_2=7\\\bullet\ &\Delta y=\left|y_1-b\right|=4\\&(y_1=1)\\&\Rightarrow |1-b|=4\\&\Rightarrow b_1=-3\,,\ b_2=5\\\end{aligned}[/tex]Kita memperoleh 2 alternatif titik pusat lingkaran L, yaitu [tex]P_1(\bf1, -3)[/tex] dan [tex]P_2(\bf7, 5)[/tex].Cara lainnyaDengan vektor, kita juga dapat mencari titik [tex]P(a, b)[/tex].Karena gradien garis [tex]g[/tex] adalah 4/3, jika titik singgungnya adalah [tex]Q(4,1)[/tex], maka vektor yang terbentuk antara titik pusat [tex]P(a, b)[/tex] dengan titik singgung tersebut dapat dinyatakan oleh:[tex]\overrightarrow{P_1Q}=\overrightarrow{QP_2}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}[/tex]sehingga:[tex]\begin{aligned}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\overrightarrow{P_1Q}=\vec{q}-\vec{p_1}\\\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}4-a\\1-b\end{pmatrix}\\\Rightarrow\ a&=1,b=-3\ \therefore\ P_1(\bf1,-3)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\overrightarrow{QP_2}=\vec{p_2}-\vec{q}\\\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a-4\\b-1\end{pmatrix}\\\Rightarrow\ a&=7,b=5\ \therefore P_2(\bf7,5)\end{aligned}[/tex]Kita memperoleh hasil yang sama.Persamaan lingkaran yang memenuhi pernyataan pada soal adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\bullet\ &(x-1)^2+(y+3)^2=5^2\\\bullet\ &(x-7)^2+(y-5)^2=5^2\\\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 13 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>