1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Q.Materi : Determinan dan sistem persamaan linearTentukan apakah sistem tersebut

Berikut ini adalah pertanyaan dari elga815 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Dasar

Q.Materi : Determinan dan sistem persamaan linear

Tentukan apakah sistem tersebut konsisten :
4x - 2y + 6z = 8 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ 2x - y + 3z = 4
Ayo jawab sangat easy pelajaran SD masa gk bisa

​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

Determinan dan Sistem Persamaan Linier

Diberikan sistem persamaan berikut.

\begin{cases}4x - 2y + 6z = 8&....(i)\\ 2x - \ \,y + 3z = 5&....(ii) \\ 2x - \ \,y + 3z = 4&....(iii)\end{cases}

Kita akan memeriksa apakah persamaan tersebut konsisten atau inkonsisten.

CARA SINGKAT

Persamaan (ii) dan (iii) memiliki koefisien-koefisien yang bernilai sama, namun nilai konstanta di ruas kanan berbeda. Dari keadaan ini, sudah bisa kita simpulkan bahwa:

∴  Sistem persamaan ini INKONSISTEN, karena TIDAK MEMILIKI SOLUSI.

______________________

CARA PANJANG 1

Matriks koefisien SPL tersebut adalah:

\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & 6 \\2 & -1 & 3 \\2 & -1 & 3\end{array}\right)

Matriks yang diperbesar (augmented matrix) untuk SPL tersebut adalah:

\left(\begin{array}{ccc|c}4 & -2 & 6 & 8 \\2 & -1 & 3 & 5 \\2 & -1 & 3 & 4\end{array}\right)

Kita lakukan Operasi Baris Elementer (OBE) terhadap matriks yang diperbesar untuk mendapatkan bentuk Eselon-nya.

  • Kondisi Inisial:
    \left(\begin{array}{ccc|c}4 & -2 & 6 & 8 \\2 & -1 & 3 & 5 \\2 & -1 & 3 & 4\end{array}\right)

  • Langkah Pertama:
    B_2-\left(\dfrac{1}{2}\right)B_1\longrightarrow{B_2}
    (Baris kedua dikurangi ½ × baris pertama)
    \left(\begin{array}{ccc|c}4 & -2 & 6 & 8 \\0 & 0 & 0 & 1 \\2 & -1 & 3 & 4\end{array}\right)

  • Langkah Kedua:
    B_3-\left(\dfrac{1}{2}\right)B_1\longrightarrow{B_3}
    (Baris ketiga dikurangi ½ × baris pertama)
    \left(\begin{array}{ccc|c}4 & -2 & 6 & 8 \\0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

Kita perhatikan, pada matriks yang diperbesar tersebut, terdapat 2 baris yang tidak seluruhnya 0.

Sedangkan pada matriks koefisien hasil reduksi dengan OBE di atas (ambil saja kolom pertama hingga kolom ketiga, karena kolom keempat adalah konstanta), yaitu:

\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & 6 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{array}\right)

terdapat 1 baris saja yang tidak seluruhnya 0.

Pada kondisi seperti ini, sistem persamaan linier TIDAK MEMILIKI SOLUSI.

Karena tidak memiliki solusi, maka sistem persamaan linier ini “bukanlah sebuah sistem“.

Karena bukan sebuah sistem, sementara sejak awal dikatakan bahwa ketiga persamaan membentuk sistem persamaan, dapat dikatakan bahwa telah terjadi INKONSISTENSI, sehingga:

∴  Sistem persamaan linier ini INKONSISTEN (tidak konsisten).

______________________

CARA PANJANG 2

Jika kita berencana menggunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, atau setidaknya memeriksa konsistensi sistem persamaan linier ini, kita perlu menentukan determinan dari matriks koefisiennya. Sistem persamaan linier akan bisa diselesaikan dengan aturan Cramer jika nilai determinannya ≠ 0.

Dengan menggunakan matriks koefisien yang sudah tereduksi di atas, kita memperoleh nilai determinan = 0, karena:

4·0·0 + (–2)·0·0 + 6·0·0 – 0·0·6 – 0·0·4 – 0·0·(–2) = 0

Jika ingin menghitungnya lagi dengan matriks koefisien awal, kita juga akan mendapatkan hasil 0, karena ada 2 baris yang persis sama nilainya. Jika ada satu baris matriks yang merupakan kelipatan dari baris lainnya, maka nilai determinannya adalah 0.

\begin{aligned}&\begin{vmatrix}4 & -2 & 6 \\2 & -1 & 3 \\2 & -1 & 3\end{vmatrix}\\&=4(-1)(3)+(-2)(3)(2)+6(2)(-1)\\&\quad\ - 2(-1)(6)-(-1)(3)(4)-3(2)(-2)\\&=-12-12-12+12+12+12\\&=\bf0\end{aligned}

Karena determinan dari matriks koefisien SPL tersebut bernilai 0, maka SPL tidak bisa diselesaikan dengan aturan Cramer, karena dengan nilai determinan matriks koefisien = 0, ada dua kemungkinan, yaitu:

  • Sistem persamaan linier tersebut TIDAK MEMILIKI SOLUSI (INKONSISTEN), atau
  • Sistem persamaan linier tersebut MEMILIKI BANYAK SOLUSI.

Dalam kasus ini, sistem persamaan linier tidak memiliki solusi.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 06 Jun 22
<< Previous Post
Next Post >>