Kelas : VIII (2 SMP)

Materi : Fungsi

Kata Kunci : relasi, fungsi, himpunan pasangan berurutan, diagram panah, diagram Cartesius

Pembahasan :

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah memasangkan anggota A dengan anggota B.

Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B yang dinotasikan dengan f : A → B.

Himpunan A dinamakan daerah asal (domain), himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain).

Jika f memetakan x ∈ A ke y ∈ B, maka dikatakan y peta dari x dan dinotasikan dengan f : x → y atau y = f(x).

Himpunan y ∈ B yang merupakan peta dari x ∈ A dinamakan daerah hasil (range).

Relasi dan fungsi dari A ke B dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :

a. diagram panah;

b. diagram Cartesius;

c. himpunan pasangan berurutan.

Jika fungsi f memetakan setiap x ∈ A dengan tepat ke satu anggota y ∈ B, maka f : x → y.

Peta dari x ∈ A oleh fungsi f sering dinyatakan sebagai f(x) dan bentuk f(x) dinamakan rumus fungsi f.

Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f : x → ax + b dengan a dan b merupakan konstanta dan x merupakan variabel, maka rumus fungsinya adalah f(x) = ax + b.

Jika nilai variabel x = m, maka nilai f(m) = am + b.

Mari kita lihat soal tersebut.

Soal no. 1 :

Diketahui himpunan A = {1, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, dan relasi dari A ke B menyatakan "kurang dari". Nyatakan relasi tersebut dalam :

a. diagram panah;

b. himpunan pasangan berurutan;

c. diagram Cartesius.

Jawab :

a. lihat lampiran 1,

b. Himpunan pasangan berurutan adalah {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}

c. lihat lampiran 2.

Soal no. 2 :

Jika A = {0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, Nyatakan relasi dari A ke B yang menyatakan hubungan "dua kali dari" dalam :  

a. diagram panah;

b. himpunan pasangan berurutan;

c. diagram Cartesius.

Jawab :

a. lihat lampiran 3.

b. Himpunan pasangan berurutan adalah {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6)}.

c. lihat lampiran 4.

Soal no. 3 :

Tentukan rumus fungsi bila fungsi F dinyatakan oleh F(x) = ax + b dengan F(-1) = 2 dan f(2) = 11.

Jawab :

Diketahui fungsi F(x) = ax + b, sehingga

F(-1) = 2  

⇔ 2 = a(-1) + b

⇔ 2 = -a + b ... (1)

F(2) = 11

⇔ 11 = a(2) + b

⇔ 11 = 2a + b ... (2)

Persamaan (1) dan (2) membentuk suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel a dan b. Kita cari penyelesaiannya menggunakan metode eliminasi dan substitusi.

Kedua persamaan kita eliminasi b, diperoleh

2 = -a + b

11 = 2a + b

_________-

⇔ -9 = -3a

⇔ a = 3

Nilai a = 3 kita substitusikan ke persamaan (1), diperoleh

2 = -a + b

⇔ 2 = -3 + b

⇔ b = 2 + 3

⇔ b = 5.

Jadi, rumus fungsinya F(x) = 3x + 5.

Soal no. 4 :

Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus f(x) = 5 - 3x dengan himpunan daerah asal adalah {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

a. buatlah tabel dan himpunan pasangan berurutan dari fungsi tersebut

b. gambarlah diagram panah dan grafik fungsinya

Jawab :

Diketahui f(x) = 5 - 3x

Himpunan daerah asal adalah {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

Untuk x = -2,

f(-2) = 5 - 3(-2) = 5 + 6 = 11  

untuk x = -1,

f(-1) = 5 - 3(-1) = 5 + 3 = 8

untuk x = 0,

f(0) = 5 - 3(0) = 5 - 0 = 5  

untuk x = 1,      

f(1) = 5 -3(1) = 5 - 3 = 2  

untuk x = 2,

f(2) = 5 - 3(2) = 5 - 6 = -1

untuk x = 3,

f(3) = 5 - 3(3) = 5 - 9 = -4  

a. tabel  

  x  ||  -2    -1      0      1      2      3

_______________________________

f(x) ||  11     8      5      2     -1     -4

Himpunan pasangan berurutan, yaitu : {(-2, 11), (-1, 8), (0, 5), (1, 2), (2, -1),(3, -4)}.

b. gambar diagram Cartesius pada lampiran 5.

Semangat!