Selidiki apakah kedua pernyataan berikut benar atau salah, dimana R*

Berikut ini adalah pertanyaan dari Alfin061203Andrianus pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Selidiki apakah kedua pernyataan berikut benar atau salah, dimana R* adalah himpunan bilangan real bukan 0, dan Z adalah himpunan bilangan bulat (tunjukkan langkah-langkahnya dengan jelas)a. ∀x∈Z , ∃y∈R*(xy<1)
b. ∃y∈R* , ∀x∈Z(xy<1)


saya mohon bantuannya. ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

a.

Ambil sebarang x ∈ Z

Jika x ≤ 0, pilih y = 1 ∈ R*, sehingga xy < 1 (karena xy pasti akan bernilai negatif atau 0).

Jika x > 0, pilih y = 1/(x + 1) ∈ R*, maka xy = (x)(1/(x + 1)) = x/(x + 1) = (x + 1 - 1)/(x + 1) = 1 - (1/(x + 1))

`

Karena x > 0, maka 1/(x + 1) > 0. Akibatnya, 1 - 1/(x + 1) < 1

Jadi, akan didapatkan xy < 1.

Berdasarkan pengerjaan tersebut, (a) bernilai benar.

===

b.

Pernyataan (b) tidaklah benar. Artinya, harus dibuktikan bahwa untuk setiap y ∈ R*, terdapat x ∈ Z sedemikian sehingga xy ≥ 1.

Ambil sebarang y ∈ R*

Misalkan y ≤ -1 dan tulis y = -k. Pilih x = -ceil(y) ∈ Z, di mana ceil(y) adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan y, maka

xy = -(ceil(k))(-k) = (ceil(k))(k) = (k + p)(k), dengan p suatu konstanta.

Karena k ≥ 1, dan p ≥ 0, maka (k + p)(k) ≥ 1

Misalkan -1 < y < 0 dan tulis y = -k. Pilih x = -ceil(1/k) ∈ Z, maka

xy = -ceil(1/k)(-k) = -(1/k + p)(-k) = (1 + kp), dengan p suatu konstanta.

Karena 0 < k < 1 dan p ≥ 0, maka 1 + kp ≥ 1. Akibatya, xy ≥ 1

Jika 0 < y < 1, pilih x = ceil(1/y) ∈ Z

maka, xy = ceil(1/y)(y) = (1/y + p)y = 1 + py, dengan p suatu konstanta.

Karena 0 < y < 1 dan p ≥ 0, maka 1 + py ≥ 1. Akibatnya, xy ≥ 1

Jika y ≥ 1, pilih Z = ceil(y) ∈ Z

maka, xy = (ceil(y))(y) = (y + p)(y), dengan p suatu konstanta.

Karena y ≥ 1 dan p ≥ 0, maka (y + p)(y) ≥ 1

Berdasarkan pengerjaan tersebut, (b) bernilai salah.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh Kilos dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 25 Feb 23