1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis: [tex]^{c/d} log (a/b)[/tex] [A.] = (ln b - ln a)/(ln d

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis:^{c/d} log (a/b)

[A.] = (ln b - ln a)/(ln d - ln c)
[B.] = (ln a - ln b)/(ln c - ln d)
[C.] = (ln c - ln d)/(ln a - ln b)
[D.] = (ln d - ln c)/(ln b - ln a)
[E.] = (ln a - ln c)/(ln b - ln d)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}{}^{c/d}\log(a/b)&=\boxed{\,\frac{\ln a-\ln b}{\ln c-\ln d}\,}\\{\sf atau}\\{}^{c/d}\log(a/b)&=\boxed{\,\frac{\ln b-\ln a}{\ln d-\ln c}\,}\end{aligned}
(opsi A atau B benar)
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Berdasarkan opsi jawaban yang diberikan, kita bisa menempuh cara penyelesaian dengan mengubah basis logaritmanya.

\begin{aligned}{}^{c/d}\log(a/b)&=\frac{{}^p\log(a/b)}{{}^p\log(c/d)}\\&\quad{\sf dengan}\ p > 0,\ p\ne1\\{}^{c/d}\log(a/b)&=\frac{{}^p\log a-{}^p\log b}{{}^p\log c-{}^p\log d}\end{aligned}

Karena \ln x={}^e\log x, maka kita substitusi pdengane, sehingga:

\begin{aligned}{}^{c/d}\log(a/b)&=\frac{{}^e\log a-{}^e\log b}{{}^e\log c-{}^e\log d}\\\vphantom{\Bigg|}\therefore\ {}^{c/d}\log(a/b)&=\boxed{\,\frac{\ln a-\ln b}{\ln c-\ln d}\,}\end{aligned}

dengan mengasumsikan a, b, c, dan d semuanya positif.

Apakah ada alternatif jawaban lain?

Perhatikan bahwa untuk sembarang a, b, c, dan d, dengan c\ne d, berlaku:

\begin{aligned}\frac{a-b}{c-d}&=\frac{b-a}{d-c}\end{aligned}

Bukti:

\begin{aligned}\frac{a-b}{c-d}&=\frac{b-a}{d-c}\\(a-b)(d-c)&=(b-a)(c-d)\\ad-bd-ac+bc&=bc-ac-bd+ad\end{aligned}

Dapat diamati bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.

Oleh karena itu:

\begin{aligned}\therefore\ {}^{c/d}\log(a/b)&=\boxed{\,\frac{\ln a-\ln b}{\ln c-\ln d}\,}\\&=\boxed{\,\frac{\ln b-\ln a}{\ln d-\ln c}\,}\end{aligned}
\blacksquare

________________

Tambahan: Pembuktian dengan cara lain

Coba kita buktikan apakah

\begin{aligned}{}^{c/d}\log(a/b)={}^{d/c}\log(b/a)\end{aligned}

\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}\\&={}^{c/d}\log(a/b)\\&={}^{(d/c)^{-1}}\log\left[(b/a)^{-1}\right]\\&=\left(\frac{-1}{-1}\right){}^{d/c}\log(b/a)\\&={}^{d/c}\log(b/a)\\&=\textsf{Ruas kanan}\end{aligned}

Dengan cara yang sama, pembuktian dari ruas kanan pun akan memberikan hasil sama dengan ruas kiri.

Oleh karena itu, dengan cara penyelesaian soal seperti pada langkah awal jawaban ini, kita akan memperoleh:

\begin{aligned}{}^{d/c}\log(b/a)&=\frac{\ln b-\ln a}{\ln d-\ln c}\end{aligned}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 08 Feb 23
<< Previous Post
Next Post >>