f(x) = –x² + 6x + 12
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui:

• f(x) – f(x+1) = 2x – 5
• f(6) = 12

Ditanyakan:

• f(x) = ...

Penyelesaian:

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa:
f(x) – f(x+1) = 2x – 5
⇒ f(x+1) – f(x) = 5 – 2x

Ruas kanan membentuk barisan aritmetika bilangan ganjil. Jumlah dari barisan bilangan bulat ganjil merupakan hasil dari fungsi kuadrat.

Jadi, kesimpulan awalyang dapat ditarik adalahf(x) merupakan fungsi kuadrat.

Kemudian, kita coba daftarkan dari x = 0 hingga x = 6, x ∈ ℤ.

• f(0) – f(1) = –5   ...(i)
• f(1) – f(2) = –3   ...(ii)
• f(2) – f(3) = –1   ...(iii)
• f(3) – f(4) = 1   ...(iv)
• f(4) – f(5) = 3   ...(v)
• f(5) – f(6) = 5   ...(vi)

Jumlah dari persamaan (i) hingga (vi) adalah:
f(0) – f(6) = 0
Sehingga: f(0) = f(6) = 12

Dapat kita amati pula bahwa dari jumlah dari persamaan (ii) hingga (v) adalah:
f(1) – f(5) = 0
Sehingga: f(1) = f(5)

Karena f(5) – f(6) = 5:
⇒ f(1) = f(6) + 5
⇒ f(1) = f(5) = 17

Sedangkan jumlah dari persamaan (iii) dan (iv) adalah:
f(2) – f(4) = 0
Sehingga: f(2) = f(4)

Karena f(4) – f(5) = 3:
⇒ f(2) = f(5) + 3
⇒ f(2) = f(4) = 20

Lalu, untuk f(3):
f(3) – f(4) = 1
⇒ f(3) = f(4) + 1
⇒ f(3) = 21

Jadi, untuk x bilangan bulat dari 0 hingga 6, terbentuk barisan f(x):
12, 17, 20, 21, 20, 17, 12

Dari nilai-nilai tersebut, kesimpulan selanjutnya adalah f(x) memiliki grafik berbentuk parabola yang terbuka/menghadap ke bawah, sehingga koefisien x² bernilai negatif.

• Sumbu simetri: x = 3
  ⇒ –b/(2a) = 3
  ⇒ b = –6a
• Nilai puncak (maksimum): y = f(3) = 21
  ⇒ 3²a + 3b + c = 21
  ⇒ 9a + 3(–6a) + c = 21
  ⇒ –9a + c = 21
  ⇒ c = 21 + 9a

Paling mudah, ambil saja a = –1.
Maka: b = 6, dan c = 21 – 9 = 12

Dan akhirnya kita peroleh:
f(x) = –x² + 6x + 12

Pemeriksaan

f(x) – f(x+1)
= –x² + 6x + 12 – [–(x+1)² + 6(x+1) + 12]
= –x² + 6x + (x+1)² – 6x – 6
= 2x + 1 – 6
= 2x – 5
sesuai dengan apa yang diketahui.

KESIMPULAN

∴ f(x) = –x² + 6x + 12