[tex]\sf\Large\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}=...[/tex] A. 0 B. [tex]\sf\frac{2}{3}[/tex] C. 1 D. [tex]\sf\frac{3}{2}[/tex] E.

Berikut ini adalah pertanyaan dari Corvusion pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Dasar

$\sf\Large\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}=...$ A. 0

B. $\sf\frac{2}{3}$

C. 1

D. $\sf\frac{3}{2}$

E. $\sf\infty$
________________
.
.
Test Latex:
$\sf F(x)\Bigr|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:
$\displaystyle D.\:\:\:\bf\frac{3}{2}$

Penjelasan dengan langkah-langkah:
Tentukan hasil dari
$\displaystyle\lim _{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}$
--> Caranya pake L'Hôpital
$\displaystyle\lim _{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
dengan
$\displaystyle f(x)=\sqrt{1+x}-1$
dan
$\displaystyle g(x)=\sqrt[3]{1+x}-1$
--> maka
$\displaystyle\lim _{x\to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)'}{(\sqrt[3]{1+x}-1)'}=\\\\\lim _{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}'-1'}{\sqrt[3]{1+x}'-1'}$
--> 1' = 0, krn c' = 0, maka . . .
$\displaystyle\lim _{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}'}{\sqrt[3]{1+x}'}=\\\\\lim _{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}'}{(1+x)^{\frac{1}{3}}'}$
--> Turunan.. (axⁿ)' = (na)x⁽ⁿ⁻¹⁾
$\displaystyle\lim _{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}'}{(1+x)^{\frac{1}{3}}'}=\\\\\lim _{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}(1+x)^{\frac{1}{2}-1}}{\frac{1}{3}(1+x)^{\frac{1}{3}-1}}=\\\\\lim _{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}(1+x)^{\frac{1}{2}-\frac{2}{2}}}{\frac{1}{3}(1+x)^{\frac{1}{3}-\frac{3}{3}}}=\\\\\lim _{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}}=$
--> Karena
$\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}\therefore\\\\\lim _{x\to 0}\left(\frac{1}{2(1+x)^{\frac{1}{2}}}\div\frac{1}{3(1+x)^{\frac{2}{3}}}\right)=\\\\\lim _{x\to 0}\left(\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\div\frac{1}{3(1+x)^{\frac{2}{3}}}\right)$
--> x = 0, maka
$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{1+0}}\div\frac{1}{3(1+0)^{\frac{2}{3}}}=\\\\\frac{1}{2\sqrt{\not1}}\div\frac{1}{3(\not1)^{\not\frac{2}{3}}}=\\\\\frac{1}{2}\div\frac{1}{3}=\\\\\bf\frac{3}{2}$