1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Jika y = Cos 2t dan x = sin t Tentukanlah

Berikut ini adalah pertanyaan dari riyananto39pctfo6 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika y = Cos 2t dan x = sin tTentukanlah persamaan garis singgung dan garis normal dititik t = 1/3 π

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Persamaan garis singgung kurva dan garis normal kurva y = cos 2t, x = sin t di titik \displaystyle{t=\frac{1}{3}\pi}adalah4x√3 + 2y = 5 dan 2x√3 - 12y = 9.

PEMBAHASAN

Persamaan garis singgung adalah suatu persamaan garis yang menyinggung kurva di suatu titik tertentu. Gradien dari persamaan garis singgung ini dapat dicari dengan menggunakan turunan, dimana :

\displaystyle{m=\frac{dy}{dx}}

Untuk fungsi parametrik dengan x = f(t) dan y = g(t), gradien m dicari dengan rumus :

\displaystyle{m=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}},~~~dengan~\frac{dx}{dt}\neq 0}

Setelah kita memperoleh nilai gradien m, persamaan garis singgungnya dapat dicari dengan rumus :

y-b=m(x-a)

.

DIKETAHUI

Kurva y = cos 2t, x = sin t.

.

DITANYA

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik \displaystyle{t=\frac{1}{3}\pi}.

.

PENYELESAIAN

> Cari koordinat titik singgung kurva.

Substitusi \displaystyle{t=\frac{1}{3}\pi} ke persamaan kurva :

x=sint

\displaystyle{x=sin\frac{1}{3}\pi }

\displaystyle{x=sin60^{\circ}}

\displaystyle{x=\frac{\sqrt{3}}{2} }

.

\displaystyle{y=cos2t }

\displaystyle{y=cos\left ( 2\times\frac{1}{3}\pi \right ) }

\displaystyle{y=cos120^{\circ} }

\displaystyle{y=-\frac{1}{2} }

Diperoleh titik singgung kurva = \displaystyle{(a,b)=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2} \right ) }.

.

> Cari gradien garis singgung.

Gradien garis singgung = nilai dari turunan pertama persamaan kurva di titik t.

\displaystyle{x=sint~\to~\frac{dx}{dt}=cost }

\displaystyle{y=cos2t~\to~\frac{dy}{dt}=-2sin2t }

.

\displaystyle{m=\frac{dy}{dx}}

\displaystyle{m=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}

\displaystyle{m=\frac{-2sin2t}{cost}}

.

Substitusi \displaystyle{t=\frac{1}{3}\pi} :

\displaystyle{m=\frac{-2sin\left ( 2\times\frac{1}{3}\pi \right )}{cos\frac{1}{3}\pi}}

\displaystyle{m=\frac{-2sin120^{\circ}}{cos60^{\circ}}}

\displaystyle{m=\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}}

\displaystyle{m=-2\sqrt{3}}

Diperoleh gradien garis singgung kurva = -2√3.

.

> Cari persamaan garis singgung kurva.

Gunakan rumus persamaan garis y - b = m(x - a ) dengan :

\displaystyle{(a,b)=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2} \right ) }

m = -2√3

.

Maka persamaan garis singgung kurva :

y-b=m(x-a)

\displaystyle{y+\frac{1}{2}=-2\sqrt{3}\left ( x-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )~~~...kedua~ruas~dikali~2}

\displaystyle{2y+1=-4x\sqrt{3}+6}

\displaystyle{4x\sqrt{3}+2y=5}

.

> Cari persamaan garis normal kurva.

Garis normal kurva tegak lurus dengan garis singgung kurva, sehingga berlaku :

m_1\times m_2=-1

-2\sqrt{3}m_2=-1

\displaystyle{m_2=\frac{1}{2\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} }

\displaystyle{m_2=\frac{\sqrt{3}}{6} }

.

Maka persamaan garis normal kurva :

y-b=m(x-a)

\displaystyle{y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}\left ( x-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )~~~...kedua~ruas~dikali~12}

\displaystyle{12y+6=2\sqrt{3}\left ( x-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}

\displaystyle{12y+6=2x\sqrt{3}-3}

\displaystyle{2x\sqrt{3}-12y=9}

.

KESIMPULAN

Persamaan garis singgung kurva dan garis normal kurva y = cos 2t, x = sin t di titik \displaystyle{t=\frac{1}{3}\pi}adalah4x√3 + 2y = 5 dan 2x√3 - 12y = 9.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Mencari PGS kurva : yomemimo.com/tugas/33417052
  2. Mencari pers. garis normal : yomemimo.com/tugas/29529310
  3. Mencari PGS kurva : yomemimo.com/tugas/27386871

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Turunan

Kode Kategorisasi: 11.2.9

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 29 Mar 23
<< Previous Post
Next Post >>