Tentukan hasil integral dari[tex] \int \frac{1}{1 + \sin(x)

Berikut ini adalah pertanyaan dari ariamuhammad587 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Tentukan hasil integral dari
$\int \frac{1}{1 + \sin(x) + \cos(x) } \: dx$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGINOMETRI

$\displaystyle \int \frac{1}{ \sin \: x+ \cos \: x+ 1} \: \sf{dx}$

misal u = tan(½x)

maka du = ½sec²(½x) dx

ingat identitas trigonometri :

tan²(½x) + 1 = sec²(½x)

sec²(½x) = u² + 1

du = ½(u² + 1) dx

$\to \sf{dx} = \frac{2}{u^2 + 1} \: \sf{du}$

$\tan ( \frac{x}{2} ) = \frac{1 -\cos \: x}{\sin \: x}$

u sin x = 1 -cos x

u sin x = 1 -√(1 -sin²x)

√(1 -sin²x) = 1 -u sin x

1 -sin²x = u²sin²x -2u sin x + 1

(u² + 1)sin²x -2u sin x = 0

(u² + 1)sin x -2u = 0

(u² + 1)sin x = 2u

sin x = $\frac{2u}{u^2 + 1}$

dengan menggunakan identitas trigonometri, untuk cos x = √(1 -sin²x) didapat :

cos x = $\frac{1 -u^2}{u^2 + 1}$

bentuk integralnya berubah menjadi :

$= \displaystyle \int \frac{2}{ ( \frac{2u}{u^2 + 1} + \frac{1 -u^2}{u^2 + 1}+ 1) (u^2 + 1)} \: \sf{du}$

$= \displaystyle \int \frac{2}{ (2u) + (1 -u^2) + (u^2 + 1)} \: \sf{du}$

$= \displaystyle \int \frac{2}{ 2u +2} \: \sf{du}$

$= \displaystyle \int \frac{1}{ u +1} \: \sf{du}$

$= \ln | u + 1 | + \sf{C}$

$\huge \boxed{\boxed{ = \ln | \tan \begin{pmatrix} \frac{x}{2} \end{pmatrix} + 1 | + \sf{C}}}$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh e18ht1nFinity dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 29 Aug 21