Tolong kerjakan semua soal dengan caranya. Jawab dengan benar.

Berikut ini adalah pertanyaan dari NJEPOh77 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong kerjakan semua soal dengan caranya.
Jawab dengan benar.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

①.

$\int (3x-2)(2x+3) \, dx = 2x^3 + \frac{5}{2} x^{2} - 6x + C \\ \\$

②.

$\int \limits^1_{-2} \: 4x\left( 2 - x^2 \right) \, dx = 3 \: \:. \\ \\$

③.

$\int (4x+8) \sqrt{x^2+4x-10} \, dx = \frac{4}{3} \sqrt{\left(x^2+4x-10 \right)^3} + C \\ \\$

Pembahasan

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan memahami konsep integral.

Integral adalah suatu konsep penjumlahan secara berkesinambungan (kontinu) dalam Matematika yang merupakan kebalikan dari turunan.

Integral tak tentu merupakan suatu fungsi umum yang ditentukan dengan melalui hubungan.

Sifat-sifat Integral tak Tentu

$\begin{aligned}\int \: k\cdot f(x)\, dx & \: =k\: \int \: f(x)\, dx \\ \\ \int \: x^n\, dx\: & =\frac{x^{n+1}}{n+1}\: +C \\ \\ \int \: \left(f(x)+g(x)\right)\, dx\: & =\int \: f(x)\, dx+\int \: g(x)\, dx \\ \\ \end{aligned}$

Integral Tentu

Integral tentu dapat dinyatakan sebagai

$\int \limits^b_a \: f(x) \, dx = F(b) - F(a) \\$

①.

$\begin{aligned} \int (3x-2)(2x+3) \, dx & \: = \int \left( 6x^2 + 5x - 6 \right) \, dx \\ \\ \: & = \frac{6}{2+1} \cdot x^{2+1} + \frac{5}{1+1} \cdot x^{1+1} - 6x + C \\ \\ \: & = \frac{6}{3} \cdot x^{3} + \frac{5}{2} \cdot x^{2} - 6x + C \\ \\ \: & = 2x^3 + \frac{5}{2} \cdot x^{2} - 6x + C \\ \\ \: & = 2x^3 + \frac{5}{2} x^{2} - 6x + C \\ \\ \end{aligned}$

②.

$\text{Misal } \: u = 2-x^2 \: \: \Rightarrow \: \: du = -2x \: dx \\ \\ -2 \, du = 4x \, dx \\ \\ x = 1 \: \: \Rightarrow \: \: u = 1 \\ \\ x = -2 \: \: \Rightarrow \: \: u = -2 \\ \\$

$\begin{aligned} \int \limits^1_{-2} \: 4x \left( 2 - x^2 \right) \, dx & \: = \int \limits^1_{-2} \: \left( 2 - x^2 \right) \cdot 4x \, dx \\ \\ \: & = \int \limits^1_{-2} \: (-2u) \, du \\ \\ \: & = \left[ - u^2 \right]^1_{-2} \\ \\ \: & = \left( -1 \right) - \left( -(-2)^2 \right) \\ \\ \: & = \left( -1 \right) - \left( -4 \right) \\ \\ \: & = -1 + 4 \\ \\ \: & = 4-1 \\ \\ \: & = 3 \\ \\ \end{aligned}$

③.

$\text{Misal } \: t = x^2 + 4x - 10 \: \: \Rightarrow \: \: dt = (2x+4) \: dx \\ \\ 2 \, dt = (4x+8) \, dx \\ \\$

$\begin{aligned} \int (4x+8) \sqrt{x^2+4x-10} \, dx & \: = \int \sqrt{x^2+4x-10} \cdot (4x+8) \, dx \\ \\ \: & = \int \sqrt{t} \cdot 2 \, dt \\ \\ \: & = \int 2 \sqrt{t} \, dt \\ \\ \: & = \int 2 \: t^{\frac{1}{2}} \, dt \\ \\ \: & = \frac{4}{3} \cdot t^{\frac{3}{2}} + C \\ \\ \: & = \frac{4}{3} \sqrt{\left(x^2+4x-10 \right)^3} + C \\ \\ \end{aligned}$