Jawaban:

Untuk menentukan nilai ekspektasi posisi partikel, rata-rata energi kinetik, dan rata-rata energi potensial dalam keadaan dasar, pertama-tama kita perlu mencari fungsi gelombang dasar dari partikel ini.

Karena potensial hanya bergantung pada sumbu x, kita dapat menggunakan persamaan Schrödinger independen waktu satu dimensi untuk menentukan fungsi gelombang. Persamaan Schrödinger ini adalah:

(-ħ²/2m) d²ψ/dx² + V(x)ψ = Eψ

di mana ħ adalah konstanta Planck yang dikurangi, m adalah massa partikel, V(x) adalah potensial, E adalah energi total partikel, dan ψ adalah fungsi gelombang partikel.

Dalam keadaan dasar, energi total partikel adalah energi minimum yang mungkin, yaitu E₀. Dalam hal ini, fungsi gelombang dasar memiliki bentuk:

ψ₀(x) = A exp(-αx²/2)

di mana A adalah konstanta normalisasi dan α = sqrt(2ma²/ħ²).

Untuk mencari nilai ekspektasi posisi partikel, kita perlu menghitung integral dari xψ₀² dari minus tak hingga plus tak. Dalam hal ini, kita dapat mengabaikan faktor normalisasi A karena integral dari ψ₀² telah ternormalisasi menjadi 1. Oleh karena itu, kita punya:

<x> = ∫ψ₀(x) x ψ₀(x) dx = ∫x |ψ₀(x)|² dx

Menghitung integral ini akan memberikan hasil nol, karena fungsi ψ₀(x) simetris terhadap sumbu y. Oleh karena itu, nilai ekspektasi posisi partikel adalah nol.

Untuk menentukan rata-rata energi kinetik, kita dapat menggunakan persamaan:

<T> = ½m<ẋ²> = ½m∫ψ₀(x) (-ħ²/m) d²ψ₀(x)/dx² dx

Menghitung turunan kedua dari ψ₀(x) akan memberikan hasil:

d²ψ₀(x)/dx² = α(2αx² - 1)ψ₀(x)

Maka, rata-rata energi kinetik partikel adalah:

<T> = ½mα∫ψ₀(x) (2αx² - 1)ψ₀(x) dx

Kita dapat menyelesaikan integral ini dengan memperluas produk dua ψ₀(x) dan kemudian mengintegrasikan setiap suku. Ini akan memberikan hasil:

<T> = (1/4)ma²α

Untuk menentukan rata-rata energi potensial, kita dapat menggunakan persamaan:

<V> = ∫ψ₀(x) V(x) ψ₀(x) dx

Dalam hal ini, potensialnya adalah V(x) = V₀ exp(-ax²). Maka, kita dapat menulis:

<V> = V₀∫ψ₀(x) exp(-ax²) ψ₀(x) dx

Kita dapat menyelesaikan integral ini dengan memperluas produk dua ψ₀(x) dan kemudian mengintegrasikan setiap suku. Ini akan memberikan hasil:

<V>