Jawaban:

Pernyataan 2 + 5 + 8 + ... + (3n - 1) = \frac{n \: (3n \:+\:1)}{2}

2

n(3n+1)

adalah terbukti benar. Terbukti untuk n = 1 dan n = k + 1 pernyataan bernilai benar.

Pembahasan

PEMBUKTIAN DENGAN PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA

Tahapan yang harus dilakukan untuk membuktikan nilai kebenaran sebuah pernyataan dengan prinsip induksi matematika adalah:

Membuktikan pernyataan benar untuk suku pertama atau n = 1.

Memisalkan pernyataan bernilai benar untuk n = k dimana k merupakan bilangan bulat positif yang sembarang.

Menggunakan persamaan di langkah kedua untuk membuktikan pernyataan bernilai benar untuk n = k + 1.

Ditanyakan:

Buktikan bahwa 2 + 5 + 8 + ... + (3n - 1) = \frac{n \: (3n \:+\:1)}{2}

2

n(3n+1)

!

Penjelasan

Akan dibuktikan pernyataan benar untuk n = 1

U₁ = \frac{n \: (3n \:+\:1)}{2}

2

n(3n+1)

2 = \frac{1 \times ((3 \times 1) \:+\:1)}{2}

2

1×((3×1)+1)

2 = \frac{(3 \:+\:1)}{2}

2

(3+1)

2 = \frac{4}{2}

2

4

2 = 2

Pernyataan benar.

Andaikan pernyataan benar untuk n = k

Maka berlaku

2 + 5 + 8 + ... + (3n - 1) = \frac{n \: (3n \:+\:1)}{2}

2

n(3n+1)

2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) = \frac{k \: (3k \:+\:1)}{2}

2

k(3k+1)

Buktikan pernyataan benar untuk n = k + 1

2 + 5 + 8 + ... + (3n - 1) = \frac{n \: (3n \:+\:1)}{2}

2

n(3n+1)

2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) + (3 (k + 1) - 1) = \frac{(k \:+\: 1) \: (3 \: (k \:+\: 1) \:+\: 1)}{2}

2

(k+1)(3(k+1)+1)

Lihat ruas kiri.

2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) + (3 (k + 1) - 1)

Subtitusi persamaan dari langkah 2

= \frac{k \: (3k \:+\: 1)}{2}

2

k(3k+1)

+ (3 (k + 1) - 1)

= \frac{3k^2 \:+\: k)}{2}

2

3k

2

+k)

+ (3k + 3 - 1)

= \frac{3k^2 \:+\: k}{2}

2

3k

2

+k

+ 3k + 2

= \frac{3k^2 \:+\ k}{2} \:+\: \frac{6k}{2} \:+\: \frac{4}{2}

2

3k

2

+ k

+

2

6k

+

2

4

= \frac{3k^2 \:+\: k \:+\: 6k \:+\: 4}{2}

2

3k

2

+k+6k+4

= \frac{3k^2 \:+\: 7k \:+\: 4}{2}

2

3k

2

+7k+4

= \frac{3k^2 \:+\: 3k \:+\: 4k \:+\: 4}{2}

2

3k

2

+3k+4k+4

= \frac{3k \: (k \:+\: 1) \:+\: 4 \: (k \:+\: 1)}{2}

2

3k(k+1)+4(k+1)

= \frac{(k \:+\: 1) \: (3k \:+\: 4)}{2}

2

(k+1)(3k+4)

= \frac{(k \:+\: 1) \: (3k \:+\: 3 \:+\: 1)}{2}

2

(k+1)(3k+3+1)

= \frac{(k \:+\: 1) \: (3 \: (k \:+\: 1) \:+\: 1)}{2}

2

(k+1)(3(k+1)+1)

Terbukti ruas kiri sesuai dengan persamaan di ruas kanan.

Maka pernyataan 2 + 5 + 8 + ... + (3n - 1) = \frac{n \: (3n \:+\:1)}{2}

2

n(3n+1)

terbukti benar.

Pelajari lebih lanjut

Prinsip Induksi Matematika yomemimo.com/tugas/23452184

Prinsip Induksi Matematika yomemimo.com/tugas/30525107

Prinsip Induksi Matematika yomemimo.com/tugas/31520858

Detail Jawaban

Kelas : XI

Mapel : Matematika

Bab : Induksi Matematika

Kode : 11.2.2.

#AyoBelajar