tentukan limit dari soal di atas!

Berikut ini adalah pertanyaan dari asmayantisiti pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan limit dari soal di atas!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\begin{aligned}\sf a.\ \ &\lim_{x\to2}\:\frac{\left(x^2-4\right)(x-2)}{x^2-4x+4}\\&=\boxed{\:\bf4\:}\\\textsf{-----}&\textsf{------------------------------------------------------}\\\sf b.\ \ &\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x(x-3)}-\sqrt{(2x-2)(2x+1)}\right)\\&=\boxed{\:\bf-\frac{5}{2}\:}\\\textsf{-----}&\textsf{------------------------------------------------------}\end{aligned}$

Pembahasan

Limit

Soal a.

$\begin{aligned}&\lim_{x\to2}\:\frac{\left(x^2-4\right)(x-2)}{x^2-4x+4}\\{=\ }&\lim_{x\to2}\:\frac{(x+2)\cancel{(x-2)(x-2)}}{\cancel{(x-2)(x-2)}}\\{=\ }&\lim_{x\to2}\:(x+2)\\{=\ }&2+2=\boxed{\:\bf4\:}\end{aligned}$
$\blacksquare$

Soal b.

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x(x-3)}\:-\:\sqrt{(2x-2)(2x+1)}\right)\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2-12x}\:-\:\sqrt{4x^2-2x-2}\right)\quad...(i)\end{aligned}$

Untuk bentuk seperti ini, kita dapat menggunakan “rumus cepat”, atau dengan mengalikan bentuk tersebut dengan bentuk sekawannya.

Cara Pertama: Dengan “rumus cepat“

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}\:-\:\sqrt{px^2+qx+r}\right)\\&=\begin{cases}\:\boxed{\:\frac{b-q}{2\sqrt{a}}\:}&{\sf untuk}\ a=p\\\:\boxed{-\infty}&{\sf untuk}\ a < p\\\:\boxed{+\infty\ {\sf atau}\ \infty}&{\sf untuk}\ a > p\end{cases}\end{aligned}$

Dari $(i)$ : $a=4,\ b=-12,\ c=0,\ p=4,\ q=-2,\ r=-2$

Cara Kedua: Dengan Mengalikan dengan Bentuk Sekawan

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x(x-3)}\:-\:\sqrt{(2x-2)(2x+1)}\right)\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2-12x}\:-\:\sqrt{4x^2-2x-2}\right)\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2-12x}\:-\:\sqrt{4x^2-2x-2}\right)\left(\frac{\sqrt{4x^2-12x}\:+\:\sqrt{4x^2-2x-2}}{\sqrt{4x^2-12x}\:+\:\sqrt{4x^2-2x-2}}\right)\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\:\frac{4x^2-12x-\left(4x^2-2x-2\right)}{\sqrt{4x^2-12x}\:+\:\sqrt{4x^2-2x-2}}\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\lim_{x\to\infty}\:\frac{-10x+2}{\sqrt{4x^2-12x}\:+\:\sqrt{4x^2-2x-2}}\cdot\frac{1/x}{1/x}\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\:\frac{\left(-10+\dfrac{2}{x}\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{4x^2-12x}}{x}\:+\:\dfrac{\sqrt{4x^2-2x-2}}{x}\right)}\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\:\frac{\left(-10+\dfrac{2}{x}\right)}{\left(\sqrt{\dfrac{4x^2-12x}{x^2}}\:+\:\sqrt{\dfrac{4x^2-2x-2}{x^2}}\right)}\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\lim_{x\to\infty}\:\frac{\left(-10+\dfrac{2}{x}\right)}{\left(\sqrt{4-\dfrac{12}{x}}\:+\:\sqrt{4-\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^2}}\right)}\\{=\ }&\frac{-10+0}{\sqrt{4-0}+\sqrt{4-0-0}}=\frac{-10}{2+2}=\frac{-10}{4}\\{=\ }&\boxed{\:\bf{-}\frac{5}{2}\:}\end{aligned}$
$\blacksquare$