Diketahui suatu persamaan diferensial (PD): (6x+5y)dx = -(5x+3y)dy dan y(0) = 2. PD tersebut merupakan PD eksak. Solusi dari PD tersebut adalah 3x²+5xy+³⁄₂y² = 6.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui:

(6x+5y)dx = -(5x+3y)dy

y(0) = 2

Ditanya: PD eksak/tidak? Jika eksak, cari solusinya

Jawab:

PD tersebut dapat ditulis kembali menjadi:

(6x+5y)dx = -(5x+3y)dy

(6x+5y)dx+(5x+3y)dy = 0

Misalkan bahwa:

M = 6x+5y dan N = 5x+3y

Mari tentukan turunan parsial: dan.

Karena kedua turunan parsialnya sama, maka PD ini merupakan PD eksak. Lalu, ambil F(x,y) = C₁ yang merupakan fungsi konstan. Dari bentuk (6x+5y)dx+(5x+3y)dy = 0, diketahui:

Integrasikan persamaan (1) secara parsial terhadap x, didapat:

F = 3x²+5xy+ψ(x,y)

Kemudian, turunkan F secara parsial terhadap y, didapat:

Bandingkan hasil ini dengan persamaan (2). Dari sini, didapatkan bahwa:

ψ'(x,y) = 3y

ψ(x,y) = ³⁄₂y²+C₂

Dengan ini, didapatkan bentuk lengkap dari F sebagai berikut:

F = 3x²+5xy+³⁄₂y²+C₂ = C₁

3x²+5xy+³⁄₂y² = C (dengan C = C₁-C₂)

Dari soal, diketahui y(0) = 2, atau saat x bernilai 0, y bernilai 2. Mari substitusi x = 0 dan y = 2 untuk mendapatkan nilai C.

3·0²+5·0·2+³⁄₂·2² = C

3·0+0+³⁄₂·4 = C

0+6 = C

C = 6

Jadi, solusinyaadalah3x²+5xy+³⁄₂y² = 6.

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang Menentukan Solusi Persamaan Diferensial Eksak yomemimo.com/tugas/29348546

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1