Jawaban:

Untuk menurunkan solusi analitis untuk a(t) dari persamaan diferensial tersebut dengan asumsi model datar (k=0) dan dengan kondisi batas a(t0) = 1 pada waktu sekarang t0, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Menggantikan variabel untuk verepresentasikan turunan

Misalkan x = a(t), kita akan menggantikan turunan (da/dt) dengan dx/dt dalam persamaan diferensial. Dengan demikian, persamaan diferensial menjadi:

(dx/dt)^2 = H_0^2 (Ω_M/x + Ω_Λ x^2)

Langkah 2: Mengubah persamaan diferensial menjadi bentuk persamaan separabel

Kita ingin mengubah persamaan diferensial menjadi bentuk persamaan separabel dengan memisahkan variabel x dan t. Untuk melakukan ini, kita akan membagi persamaan dengan H_0^2 (Ω_M/x + Ω_Λ x^2):

(dx/dt)^2 / (H_0^2 (Ω_M/x + Ω_Λ x^2)) = 1

Langkah 3: Mengintegrasikan kedua sisi persamaan

Mengintegrasikan persamaan terhadap t akan menghasilkan:

∫ dx / (x √(Ω_M/x + Ω_Λ x^2)) = ∫ dt

Langkah 4: Mengintegrasikan sisi kiri persamaan

Kita dapat mengintegrasikan sisi kiri persamaan menggunakan substitusi trigonometri atau substitusi hipergeometri tergantung pada nilai Ω_M dan Ω_Λ. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan substitusi trigonometri. Misalkan:

y = √(Ω_Λ) x

Substitusi ini menghasilkan:

dx = dy / √(Ω_Λ) x

∫ dx / (x √(Ω_M/x + Ω_Λ x^2)) = ∫ dy / (y √(Ω_M/Ω_Λ + y^2))

∫ dy / (y √((Ω_M/Ω_Λ) + y^2)) = ∫ dt

Langkah 5: Mengintegrasikan sisi kanan persamaan

Kita dapat mengintegrasikan sisi kanan persamaan dengan memperhatikan bahwa ∫ dt = t + C, di mana C adalah konstanta integrasi.

Langkah 6: Menyelesaikan integral pada sisi kiri persamaan

Untuk menyelesaikan integral pada sisi kiri persamaan, kita dapat menggunakan substitusi trigonometri atau substitusi hipergeometri tergantung pada nilai Ω_M dan Ω_Λ. Misalkan dalam kasus ini kita menggunakan substitusi trigonometri:

y = √(Ω_M/Ω_Λ) tan(θ)

Setelah melakukan substitusi ini, kita dapat menyelesaikan integral dan memperoleh nilai θ dalam fungsi y.

Langkah 7: Menyusun solusi a(t)

Setelah mendapatkan nilai θ dalam fungsi y, kita dapat menggantikan y dengan √(Ω_Λ) x