a) Konstanta normalisasi A dapat dicari dengan menggunakan persamaan:

∫|ψ(x,0)|^2 dx = 1

dengan |ψ(x,0)|^2 merupakan probabilitas partikel ditemukan pada posisi x dalam kotak kuantum. Maka, dapat dihitung sebagai berikut:

∫|A(1 - (x/L)^2)^(3/2)|^2 dx = 1

∫A^2(1 - (x/L)^2)^3 dx = 1

A^2∫(1 - 2(x/L)^2 + (x/L)^4)^(3) dx = 1

A^2(16L/15) = 1

A = √(15/16L)

b) Rata-rata posisi partikel (<x>) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan:

<x> = ∫x|ψ(x,0)|^2 dx

<x> = ∫x|A(1 - (x/L)^2)^(3/2)|^2 dx

<x> = A^2∫x(1 - (x/L)^2)^3 dx

<x> = A^2L^5/16∫(z^3 - 3z^5 + 2z^7) dz

<x> = A^2L^5/16(1/4 - 3/6 + 2/8)

<x> = 0

c) Rata-rata momentum partikel (<p>) dalam keadaan ini dapat dihitung menggunakan persamaan:

<p> = ∫ψ(x,0)*(-iħ)d/dxψ(x,0) dx

<p> = ∫A(1 - (x/L)^2)^(3/2)*(-iħ)d/dx(A(1 - (x/L)^2)^(3/2)) dx

<p> = -iħA^2∫(1 - (x/L)^2)^2(3x/L) dx

<p> = -3iħA^2/L^4∫(z^2 - 2z + 1)z dz

<p> = -9iħA^2/16L

<p> = -3ħ/4L

d) Nilai tak tentu ketidakpastian posisi partikel (Δx) dalam keadaan ini dapat dihitung menggunakan persamaan:

Δx = sqrt(<x^2> - <x>^2)

<x^2> = ∫x^2|ψ(x,0)|^2 dx

<x^2> = A^2∫x^2(1 - (x/L)^2)^3 dx

<x^2> = A^2L^7/16∫(z^4 - 2z^6 + z^8) dz

<x^2> = A^2L^7/16(1/5 - 2/7 + 1/9)

<x^2> = 3L^2/5

Maka, dapat dihitung nilai tak tentu ketidakpastian posisi partikel (Δx) sebagai berikut:

Δx = sqrt(<x^2> - <x>^2)

Δx = sqrt(3L^2/5 - 0)

Δx = sqrt(3/5)L

e) Nilai tak tentu ketidakpastian momentum partikel (Δp) dalam keadaan ini dapat dihitung menggunakan persamaan:

Δp = √[<p^2> - <p>^2]

Untuk menghitung nilai <p^2>, kita perlu menghitung fungsi gelombang momentum partikel terlebih dahulu. Dalam kotak kuantum satu dimensi dengan lebar L, fungsi gelombang momentum partikel dinyatakan sebagai:

φ(p) = (1/√(2πħ))sin(pL/ħ)

Maka, nilai <p^2> dalam keadaan ini adalah:

<p^2> = ∫φ(p)^2p^2dp = (2/3)m(L/2)^2

Dimana m adalah massa partikel dan ħ adalah konstanta Planck yang dibagi 2π. Dari nilai ini, kita dapat menghitung nilai tak tentu ketidakpastian momentum partikel:

Δp = √[(2/3)m(L/2)^2 - (<p>)^2]

f) Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa ketidakpastian posisi dan momentum suatu partikel tidak bisa nol secara bersamaan. Artinya, semakin tepat kita mengukur posisi partikel, maka semakin besar ketidakpastian momentumnya, dan sebaliknya. Dalam keadaan ini, nilai tak tentu ketidakpastian posisi partikel (Δx) dan nilai tak tentu ketidakpastian momentum partikel (Δp) tidak nol secara bersamaan, sehingga prinsip ketidakpastian Heisenberg terpenuhi. Hal ini menunjukkan bahwa dalam dunia kuantum, kita tidak bisa mengukur posisi dan momentum suatu partikel secara tepat secara bersamaan.

Semoga Membantu : ) ...