Tugasberapa waktu yang dibutuhkan partikel untul sampai di pusat kordinat

Berikut ini adalah pertanyaan dari Martin1103 pada mata pelajaran Fisika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tugasberapa waktu yang dibutuhkan partikel untul sampai di pusat kordinat jika awalnya diam di x=d

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

$\begin{aligned}t &= \frac{d^2}{k}\end{aligned}$

Penjelasan:

Dari soal dapat langsung digunakan Hukum Newton 2 untuk mendapatkan second order ODE untuk dinamika sistem

$\begin{aligned}\sum F &= m\ddot{x}\\-\frac{mk^2}{x^3} &= m \ddot{x}\\\ddot{x} &= -\frac{k^2}{x^3}\end{aligned}$

Persamaan diferensial tersebut dapat diselesaikan seperti berikut

$\begin{aligned}u &= \dot{x}\\\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} &= \frac{d}{dt}\cdot\dot{x}\\\frac{du}{dx} u &= \ddot{x}\\\end{aligned}$

Subtitusikan ke persamaan sebelumnya

$\begin{aligned}\frac{du}{dx}\cdot u &= -\frac{k^2}{x^3}\\\int u\cdot du &= -\int \frac{k^2}{x^3} dx\\\frac{1}{2}u^2 &= \frac{k^2}{2x^2} + C\\u^2 &= \frac{k^2}{x^2} + C\\\dot{x}^2 x^2 &= k^2 + Cx^2\end{aligned}$

Subtitusikan lagi dengan v dan w

$\begin{aligned}v &= x^2\\\frac{dv}{dt} &= 2x \frac{dx}{dx}\\\dot{x} &= \frac{\dot{v}}{2x}\\\frac{\dot{v}^2}{4} &= k^2 + Cv\\\\w &= \dot{v}\\w \cdot dt &= dv\\ \\\frac{w^2}{4}- k^2 &= Cv\\\frac{w}{2} &= C \frac{dv}{dw}\\\frac{w}{2} dw &= C\cdot w \cdot dt\\\int dw &= \int 2C dt\\w &= 2Ct + D\end{aligned}$

Subtitusikan w kembali ke persamaan sebelumnya

$\begin{aligned}\frac{(2Ct + D)^2}{4} - k^2 &= Cv\\\frac{(2Ct + D)^2}{4} - k^2 &= Cx^2\\x &= \pm\sqrt{\frac{4C^2t^2 + 4CDt + D^2 - 4Ck^2}{4C}}\\x &= \pm\sqrt{Et^2 + Ft + G }\end{aligned}$

Dari soal diketahui nilai untuk initial value problem, kecepatan awal 0 dan posisi awal pada d. Sehingga solusi lengkap dengan mensubtitusi balik informasi ke fungsi x, turunan pertama, dan kedua adalah

$\begin{aligned}\\x &= \sqrt{Et^2+Ft+G}, &x(0) = d \Rightarrow G = d^2 \\ \dot{x} &= \frac{2Et+F}{2\sqrt{Et^2+Ft+G}}, \; &\dot{x}(0) = 0 \Rightarrow F = 0\\\ddot{x}&= \frac{E}{\sqrt{Et^2+G}} - \frac{2Et}{(Et^2+G)^{\frac{3}{2}}}, \; &\ddot{x}(0) = -\frac{k^2}{d^3}\Rightarrow E = -\frac{k^2}{d^2}\end{aligned}$