1. Persamaan Schrödinger waktu-tergantung untuk keadaan kuantum |ψ⟩ yang diberikan adalah:

iħ(d|ψ⟩/dt) = H|ψ⟩

Dalam kasus ini, operator Hamiltonian H = ħωσ dapat ditulis sebagai:

H = ħω(σx)

di mana σx adalah komponen x dari matriks Pauli σ.

Substitusikan keadaan |ψ⟩ = a|0⟩ + b|1⟩ ke dalam persamaan Schrödinger:

iħ(d/dt)(a|0⟩ + b|1⟩) = ħω(σx)(a|0⟩ + b|1⟩)

iħ(ad/dt)|0⟩ + iħ(bd/dt)|1⟩ = ħω(aσx|0⟩ + bσx|1⟩)

Karena |0⟩ dan |1⟩ merupakan basis yang saling ortogonal, maka kita dapat memisahkan persamaan di atas untuk setiap basis:

iħ(ad/dt)|0⟩ = ħωaσx|0⟩

iħ(bd/dt)|1⟩ = ħωbσx|1⟩

Dari sini, kita dapat menyimpulkan evolusi waktu dari koefisien a dan b:

iħ(d/dt)a = ħωa

iħ(d/dt)b = ħωb

Ini adalah persamaan diferensial sederhana yang menggambarkan evolusi waktu dari keadaan kuantum |ψ⟩. Solusinya adalah:

a(t) = a(0)e^(-iωt)

b(t) = b(0)e^(-iωt)

2. Untuk menentukan fungsi gelombang ψ(x) dari partikel dalam kotak 1-dimensi dengan potensial V(x), kita perlu memecahkan persamaan Schrödinger independen-waktu untuk sistem ini:

-(ħ^2/2m)(d^2ψ/dx^2) + V(x)ψ(x) = Eψ(x)

Dalam kasus ini, potensial V(x) = 0 untuk 0 < x < a dan tak terhingga untuk x ≤ 0 dan x ≥ a. Oleh karena itu, persamaan Schrödinger menjadi:

-(ħ^2/2m)(d^2ψ/dx^2) = Eψ(x)

Solusi umum dari persamaan ini adalah fungsi gelombang sinus dan kosinus:

ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx)

di mana k = √(2mE/ħ^2).

Namun, karena potensialnya adalah tak terhingga di x ≤ 0 dan x ≥ a, maka fungsi gelombangnya harus memenuhi syarat batas ψ(0) = ψ(a) = 0. Ini menghasilkan batasan pada nilai k dan solusi yang memenuhinya.

Untuk nilai k yang memenuhi syarat batas tersebut, fungsi gelombang ψ(x) menjadi:

ψ(x) = √(2/a) sin(nπx/a)

di mana n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi nπa = k.

Untuk menghitung nilai ekspektasi dari momentum dan energi kinetiknya, kita dapat menggunakan definisi ekspektasi

dalam mekanika kuantum:

< p > = ∫ ψ*(x) (-iħ d/dx) ψ(x) dx

< T > = < p^2 > / (2m)

Dalam kasus ini, kita akan menghitung ekspektasi dari momentum dan energi kinetiknya menggunakan fungsi gelombang ψ(x) = √(2/a) sin(nπx/a).

Nilai ekspektasi dari momentum adalah:

< p > = ∫ ψ*(x) (-iħ d/dx) ψ(x) dx

= ∫ √(2/a) sin(nπx/a) (-iħ d/dx) (√(2/a) sin(nπx/a)) dx

= -iħ ∫ (2/a) sin(nπx/a) (nπ/a) cos(nπx/a) dx

= -iħ (nπ/a) ∫ sin(nπx/a) cos(nπx/a) dx

= -iħ (nπ/a) ∫ (1/2) sin(2nπx/a) dx

= -iħ (nπ/a) (1/2) [-(a/2nπ) cos(2nπx/a)] from 0 to a

= (iħ/2) (1 - (-1)) = iħ

Jadi, nilai ekspektasi momentumnya adalah iħ.

Nilai ekspektasi energi kinetiknya adalah:

< T > = < p^2 > / (2m) = (< p >^2) / (2m) = (iħ)^2 / (2m) = -ħ^2 / (2m)

3. Untuk menjelaskan hukum kekekalan energi dan momentum sudut dalam metrik Schwarzschild, kita perlu mempertimbangkan simetri waktu dan simetri sudut dari metrik tersebut. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan simetri sudut untuk menurunkan persamaan gerak untuk cahaya.

Dalam koordinat bola Schwarzschild, energi dan momentum sudut cahaya dapat dianggap sebagai kuantitas yang dilestarikan. Dalam hal ini, energi cahaya didefinisikan sebagai:

E = -(1 - 2GM/c^2r) dt/dτ

Momentum sudut cahaya didefinisikan sebagai:

L = r^2 dφ/dτ

dengan dτ adalah elemen waktu ruang sendiri dan φ adalah koordinat sudut azimutal.

Untuk menunjukkan hukum kekekalan energi dan momentum sudut, kita harus menunjukkan bahwa dE/dτ = 0 dan dL/dτ = 0.

Dengan menggunakan metrik Schwarzschild yang diberikan, kita dapat menghitung turunan waktu-ruang sendiri (d/dτ) dari E dan L. Setelah penghitungan yang rumit, kita dapat menunjukkan bahwa dE/dτ = 0 dan dL/dτ = 0, yang menunjukkan bahwa energi dan momentum sudut cahaya dilestarikan dalam metrik Schwarzschild.

Dengan menggunakan hukum kekekalan energi dan momentum sudut ini, kita dapat membangun persamaan gerak untuk cahaya yang melintasi ruang-waktu Schwarzschild.