Jawab:

3x² – 24x + 38 = 0

Pembahasan

Persamaan Kuadrat

Ingat bahwa jika m dan n adalah akar-akar persamaan kuadrat Ax² + Bx + C = 0, maka berlaku:

• m + n = –B/A
• mn = C/A

Akar-akar persamaan kuadrat 3x² – 12x + 2 = 0 adalah a dan b.

Penjumlahan akar-akarnya:

a + b = –(–12)/3 = 12/3

⇔ a + b = 4    ....(i)

Perkalian akar-akarnya:

ab = 2/3    ....(ii)

Selanjutnya, menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (a + 2) dan (b + 2).

(x – (a+2))(x – (b+2)) = 0

⇔ x² – (a+b+4)x + (a+2)(b+2) = 0

⇔ x² – (a+b+4)x + ab + 2(a+b) + 4 = 0

Substitusi a+b dan ab dari (i) dan (ii).

⇔ x² – (4+4)x + 2/3 + 2(4) + 4 = 0

⇔ x² – 8x + 2/3 + 8 + 4 = 0

⇔ x² – 8x + 2/3 + 12 = 0

Kedua ruas dikalikan 3.

⇔ 3x² – 24x + 2 + 36 = 0

⇔ 3x² – 24x + 38 = 0

Pemeriksaan

Jika (a+2) dan (b+2) adalah akar-akar 3x² – 24x + 38 = 0, maka:

• Penjumlahan akar-akarnya:
  (a+2) + (b+2) = –(–24)/3 = 24/3 = 8
  ⇔ a + b + 4 = 4 + 4
  Substitusi a + b dari (i).
  ⇔ 4 + 4 = 4 + 4
  ⇔ Benar!

• Perkalian akar-akarnya:
  (a + 2)(b + 2) = 38/3
  ⇔ ab + 2(a+b) + 4 = 38/3
  ⇔ 2/3 + 2(4) + 4 = 38/3
  ⇔ 2/3 + 8 + 4 = 38/3
  ⇔ (2+24+12)/3 = 38/3
  ⇔ 38/3 = 38/3
  ⇔ Benar!

KESIMPULAN

∴  Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (a + 2) dan (b + 2) adalah:

3x² – 24x + 38 = 0.