Matematika Kelas 10

Tentang SPLTV

1. Temukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut !

x + y + z = -6

x + y – 2z = 3

x – 2y + z = 9

Penyelesaian

x + y + z = -6 … (1)

x + y – 2z = 3 … (2)

x – 2y + z = 9 … (3)

Tentukan persamaan x melalui (1)

x + y + z = -6 ⇔ x = -6 – y – z … (4)

Substitusikan (4) ke (2)

x + y – 2z = 3

-6 – y – z + y – 2z = 3

-6 – 3z = 3

3z = -9

z = -3

Substitusikan (4) ke (3)

x – 2y + z = 9

-6 – y – z – 2y + z = 9

-6 – 3y = 9

– 3y = 15

y = 15/(-3)

y = -5

Substitusikan z dan y ke (1)

x + y + z = -6

x – 5 – 3 = -6

x – 8 = -6

x = 8 – 6

x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, -5, -3)}

2. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut !

3x – 6y + 12z = 60

2x -4y + 4z = 46

x – 2y + 4z = 15

Pembahasan

Sistem persamaan linear tiga variabel tersebut bisa disederhakan menjadi

3x – 6y + 12z = 60 |÷ 3| ⇔x – 2y + 4z = 20 … (1)

2x -4y + 4z = 46 |÷ 2| ⇔ x – 3y + 6z = 23 … (2)

x – 2y + 4z = 15 … (3)

Perhatikan bahwa (1) dan (3) mempunyai sisi kiri yang sama (x – 2y + 4z) namun sisi kanan berbeda (20 ≠ 15). Jadi SPLTV tersebut tidak mungkin terselesaikan.

Jadi, sistem persamaan linear tiga variabel tersebut tidak memiliki himpunan penyelesaian.

3. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut !

2x + 5y – 3z = 3

6x + 8y -5z = 7

-3x + 3y + 4y = 15

Penyelesaian

2x + 5y – 3z = 3 … (1)

6x + 8y -5z = 7 … (2)

-3x + 3y + 4z = 15 … (3)

Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (2):

2x + 5y – 3z = 3 |×5| ⇔ 10x + 25y – 15z = 15  

6x + 8y -5z = 7 |×3| ⇔ 18x + 24y -15z = 21  –

-8x + y = -6 … (4)

Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (3):

2x + 5y – 3z = 3 |×4| ⇔ 8x + 20y – 12z = 12  

-3x + 3y + 4z = 15 |×3| ⇔-9x + 9y + 12z = 45  +

-x + 29y = 57 … (5)

Eliminasikan variabel y menggunakan (4) dan (5):

-8x + y = -6 |×29| ⇔ -232x + 29y = -174  

-x + 29y = 57 |×1| ⇔ -x + 29y = 57  –

-231x = -231

x = 1

Substitusikan x ke (4):

-8x + y = -6

-8(1) + y = -6

-8 + y = -6

y = 8 – 6

y = 2

Kemudian, subsitusikan x dan y ke (1)

2x + 5y – 3z = 3

2(1) + 5(2) – 3z = 3

2 + 10 – 3z = 3

12 – 3z = 3

– 3z = 3 -12 = -9

z = -9/-3

z = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}

4. Toko alat tulis pak rudi menjual alat tulis berisi buku, spidol, dan tinta dalam 3 jenis paket sebagai berikut.

Paket A: 3 buku, 1 spidol, 2 tinta seharga Rp 17.200

Paket B: 2 buku, 2 spidol, 3 tinta seharga Rp19.700

Paket C: 1 buku, 2 spidol, 2 tinta seharga Rp14.000

Hitunglah harga 1 buah masing-masing item !

Penyelesaian

Misal:

b: harga 1 buah buku

s: harga 1 buah spidol

t: harga 1 buah tinta

Maka, model matematikanya adalah :

3b + s + 2t = 17.200 … (1)

2b + 2s + 3t = 19.700 … (2)

b + 2s + 2t = 14.000 … (3)

Eliminasikan variabel t menggunakan (1) dan (2):

3b + s + 2t = 17.200 |×3| ⇔ 9b + 3s + 6t = 51.600

2b + 2s + 3t = 19.700 |×2| ⇔ 4b + 4s + 6t = 39.400 –

5b – s = 12.200 … (4)

Eliminasikan variabel t menggunakan (1) dan (3):

3b + s + 2t = 17.200

b + 2s + 2t = 14.000 –

2b – s = 3.200

s = 2b – 3.200 … (5)

Substitusikan (5) ke (4):

5b – s = 12.200

5b – (2b – 3.200) = 12.200  

5b – 2b + 3.200 = 12.200

3b = 12.200 – 3.200 = 9.000

b = 9.000 ÷ 3  

b = 3.000

Substitusikan nilai b ke (5)

s = 2b – 3.200

s = 2(3.000) – 3.200

s = 6.000 – 3.200

s = 2.800

Substitusikan nilai b dan s ke (3)

b + 2s + 2t = 14.000

3.000 + 2(2.800) + 2t = 14.000

3.000 + 5.600 + 2t = 14.000

8.600 + 2t = 14.000

2t = 14.000 – 8.600 = 5.400

t = 5.400 ÷ 2

t = 2.700

Jadi, harga 1 buah buku adalah Rp3.000, 1 buah spidol adalah Rp2.800, dan 1 buah tinta adalah Rp2.700.

5.

3 bersaudara Lia, Ria, dan, Via berbelanja di toko buah. Mereka membeli Apel, Jambu, dan Mangga dengan hasil masing-masing sebagai berikut:

-Lia membeli dua buah Apel, satu buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp47.000

-Ria membeli satu buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp43.000

-Via membelli tiga buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp71.000

Berapa harga 1 buah Apel, 1 buah Jambu, dan 1 buah Mangga?

Penyelesaian

Misal:

a = Harga 1 buah Apel

j = Harga 1 buah Jambu

m = Harga 1 buah Mangga

Maka, model matematikanya adalah

2a + j + m = 47.000 … (1)

a + 2j + m = 43.000 … (2)

3a + 2j + m = 71.000 … (3)

Eliminasikan variabel j dan m menggunakan (2) dan (3):

a + 2j + m = 43.000

3a + 2j + m = 71.000 –

-2a = -28.000

a = 14.000

Eliminasikan variabel m menggunakan (1) dan (2), dan substitusikan nilai a:

2a + j + m = 47.000

a + 2j + m = 43.000 –

a – j = 4.000

j = a – 4.000

j = 14.000 – 4.000

j = 10.000

Substitusikan nilai a dan j ke (1):

2a + j + m = 47.000

2(14.000) + 10.000 + m = 47.000

28.000 + 10.000 + m = 47.000

38.000 + m = 47.000

m = 47.000 – 38.000

m = 9.000  

Jadi, harga 1 buah Apel adalah Rp14.000, 1 buah Jambu adalah Rp10.000, dan 1 buah Mangga adalah Rp9.000.