KINEMATIKA

▶ Gerak Parabola

*soal dimodifikasi sedikit, untuk memperjelas

Peluru A ditembakkan dengan sudut elevasi α, berselang waktu T peluru B ditembakkan dengan sudut elevasi β. Jika kecepatan awal kedua peluru sama besar, hitung kapan kedua peluru bertumbukan di udara

————

saat peluru A dan B bertumbukan, xA = xB ; yA = yB ; tA = t dan tB = t - T

ditanya : t (kapan bertumbukan di udara) = __ ?

(sebab kalau T sendiri adalah interval waktu antara peluru A ditembakkan dengan peluru B ditembakkan(

————

v₀A = v₀B = v₀

agar kedua benda bisa bertumbukan, α > β

xA = v₀A cos α t = v₀ cos α t

xB = v₀B cos β (t - T) = v₀ cos β (t - T)

yA = v₀A sin α t - ½ g t²

yA = v₀ sin α t - ½ g t²

yB = v₀B sin β (t - T) - ½ g (t - T)²

yB = v₀ sin β (t - T) - ½ g (t - T)²

saat peluru bertumbukan, maka syarat pertama

xA = xB

v₀ cos α t = v₀ cos β (t - T)

cos α t = cos β (t - T)

cos α t = cos β t - cos β T

cos β T = t (cos β - cos α)

t = cos β T / (cos β - cos α)

sekarang mencari nilai T untuk disubtitusi ke persamaan tersebut

syarat kedua

yA = yB

v₀ sin α t - ½ g t² = v₀ sin β (t - T) - ½ g (t - T)² [× 2]

2 v₀ sin α t - g t² = 2 v₀ sin β (t - T) - g (t - T)²

2 v₀ sin α t - g t² = 2 v₀ sin β t - 2 v₀ sin β T - g (t² - 2Tt + T²)

g t² - 2 g T t + g T² - g t² + 2 v₀ sin β T = 2 v₀ sin β t - 2 v₀ sin α t

g T² - 2 g T t + 2 v₀ sin β T = 2 v₀ t (sin β - sin α)

ruas kiri

g T² - 2 g T t + 2 v₀ sin β T

= g T² - 2 g T (cos β T / (cos β - cos α) ) + 2 v₀ sin β T

= g T² - 2 g T² (cos β / (cos β - cos α) ) + 2 v₀ sin β T ... samakan penyebut

= [g T² (cos β - cos α) - 2 g T² cos β + 2 v₀ sin β T (cos β - cos α)] / (cos β - cos α)

= (g T² cos β - g T² cos α - 2 g T² cos β + 2 v₀ sin β cos β T - 2 v₀ sin β cos α T) / (cos β - cos α)

= (-g T² cos β - g T² cos α + 2 v₀ sin β cos β T - 2 v₀ sin β cos α T) / (cos β - cos α)

ruas kanan

2 v₀ t (sin β - sin α)

= 2 v₀ (cos β T / (cos β - cos α)) (sin β - sin α)

= (2 v₀ sin β cos β T - 2 v₀ sin α cos β T) / (cos β - cos α)

kembali ke persamaan awal dengan disubtitusi oleh bentuk persamaan baru

(-g T² cos β - g T² cos α + 2 v₀ sin β cos β T - 2 v₀ sin β cos α T) / (cos β - cos α) = (2 v₀ sin β cos β T - 2 v₀ sin α cos β T) / (cos β - cos α)

kedua ruas dikalikan (cos β - cos α) / T

-g T cos β - g T cos α + 2 v₀ sin β cos β - 2 v₀ sin β cos α = 2 v₀ sin β cos β - 2 v₀ sin α cos β

-g T cos β - g T cos α - 2 v₀ sin β cos α = - 2 v₀ sin α cos β ... [× -1]

g T cos β + g T cos α = 2 v₀ sin α cos β - 2 v₀ sin β cos α

g T (cos β + cos α) = 2 v₀ (sin α cos β - sin β cos α)

ingat bahwa (sin α cos β - sin β cos α) = sin (α - β)

T = 2 v₀ sin (α - β) / [g (cos β + cos α)]

kembalikan nilai T ke t

t = cos β T / (cos β - cos α)

t = cos β (2 v₀ sin (α - β) / [g (cos β + cos α)] / (cos β - cos α)

t = 2 v₀ cos β sin (α - β) / [g (cos²β - cos²α)]

t adalah waktu kedua peluru bertumbukan, bukan T