Jawab:

1. Untuk menemukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran L dan melalui titik P, kita dapat menggunakan fakta bahwa garis yang menyinggung lingkaran pada titik P adalah garis yang memiliki gradien yang sama dengan gradien garis singgungan pada titik P.

Untuk menghitung gradien garis singgungan pada titik P, kita dapat menggunakan persamaan umum lingkaran L: x² + y² - 5 = 0. Pertama, kita harus menentukan turunan implisit dari persamaan lingkaran terhadap x:

2x + 2yy' = 0

y' = -x/y

Jadi, gradien garis singgungan pada titik P (1,3) adalah -1/3.

Kita juga tahu bahwa persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik (x₁, y₁) dapat ditulis sebagai:

y - y₁ = m(x - x₁)

Jadi, persamaan garis yang menyinggung lingkaran L dan melalui titik P adalah:

y - 3 = (-1/3)(x - 1)

3x + y - 10 = 0

Oleh karena itu, persamaan garis yang menyinggung lingkaran L dan melalui titik P adalah A) x - 2y - 5 = 0.

2. Dalam persamaan polinom x³ - 2ax² - 5x + 6 = 0, jika salah satu akarnya adalah 1, maka kita dapat menggunakan Teorema Sisa Bagi (Remainder Theorem) untuk membagi persamaan tersebut dengan (x - 1). Jika hasil bagi adalah nol, maka x - 1 adalah faktor dari polinom.

Jadi, melakukan pembagian polinom:

(x³ - 2ax² - 5x + 6) / (x - 1)

Dalam hal ini, menggunakan pembagian polinom akan memberikan hasil sisa nol, yang menunjukkan bahwa (x - 1) adalah faktor dari polinom.

Sehingga polinom dapat dibagi sebagai berikut:

(x³ - 2ax² - 5x + 6) = (x - 1)(x² + (1 - 2a)x + (a - 6))

Karena (x - 1) adalah faktor, maka akar lainnya harus menjadi akar dari faktor (x² + (1 - 2a)x + (a - 6)).

Namun, tanpa informasi tambahan tentang nilai a, tidak mungkin menentukan akar lainnya secara pasti. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah tidak dapat ditentukan dari pilihan yang diberikan.

3. Lingkaran berada di kuadran IV dan menyinggung sumbu x dan sumbu y, artinya pusat lingkaran berada di kuadran IV dan jari-jari lingkaran adalah sama dengan jarak dari pusat lingkaran ke sumbu x atau sumbu y.

Dalam hal ini, pusat lingkaran terletak pada titik (r, -r), dengan r sebagai jari-jari lingkaran.

Juga diketahui bahwa lingkaran tersebut menyinggung garis 5x - 12y - 8 = 0. J

ika lingkaran menyinggung garis, maka jarak antara pusat lingkaran dan garis tersebut adalah sama dengan jari-jari lingkaran.

Jarak antara pusat lingkaran (r, -r) dan garis 5x - 12y - 8 = 0 dapat dihitung menggunakan rumus:

d = |(5r - 12(-r) - 8) / √(5² + (-12)²)| = |(5r + 12r - 8) / √(25 + 144)| = |(17r - 8) / √169| = |(17r - 8) / 13|

Dalam hal ini, jarak ini harus sama dengan jari-jari lingkaran, yang sama dengan r. Oleh karena itu, kita dapat menyamakan persamaan:

|(17r - 8) / 13| = r

Berdasarkan keterangan bahwa lingkaran berada di kuadran IV, kita dapat mengambil nilai positif dari persamaan tersebut:

(17r - 8) / 13 = r

17r - 8 = 13r

4r = 8

r = 2

Dengan mengetahui jari-jari lingkaran, kita dapat menentukan persamaan lingkaran dengan pusat (r, -r) = (2, -2) dan jari-jari r = 2:

(x - 2)² + (y + 2)² = 2²

Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah B) (x - 2)² + (y + 2)² = 2.