Jawaban:

  Untuk menentukan output optimal dari komoditas X dan Y, perlu dilakukan optimasi fungsi laba dengan menggunakan kendala persamaan output komoditas X dan Y. Dalam hal ini, dapat digunakan metode Lagrange untuk menyelesaikan masalah optimasi tersebut. Langkah-langkah metode Lagrange:

1. Bentuk persamaan Lagrange dengan memasukkan fungsi laba dan kendala persamaan output menjadi satu persamaan, yaitu:

L = π - λ(X + Y - 12)

2. Turunkan persamaan Lagrange terhadap variabel X, Y, dan λ secara bergantian. Sehingga diperoleh sistem persamaan:

dL/dX = 80 - 4X - Y + λ = 0

dL/dY = -X - 6Y + 100 + λ = 0

dL/dλ = X + Y - 12 = 0

3. Selesaikan sistem persamaan di atas. Pertama, dari persamaan 1 dan 2 diperoleh:

X = (80 - Y + λ)/4

Y = (100 - X + λ)/6

4. Selanjutnya, substitusikan nilai X dan Y ke dalam persamaan 3, sehingga:

(80 - Y + λ)/4 + (100 - X + λ)/6 - 12 = 0

5. Dari persamaan tersebut, dapat dihitung nilai λ dan kemudian nilai X dan Y, yaitu:

λ = 20

X = 10

Y = 2

6. Nilai output optimal untuk komoditas X adalah 10 dan komoditas Y adalah 2, dengan fungsi laba maksimum sebesar 484.

  Dengan demikian, perusahaan harus memproduksi 10 unit komoditas X dan 2 unit komoditas Y untuk memaksimalkan fungsi laba totalnya dengan kendala output komoditas X dan Y harus sama dengan 12.