Jawaban:

Pengusaha harus memproduksi sebanyak 3,33 unit barang untuk mencapai keuntungan maksimal.

Pengusaha mengalami kerugian sekitar Rp 557,57 jika memproduksi 3,33 unit barang.

Penjelasan:

Untuk mengetahui kuantitas barang yang harus diproduksi oleh pengusaha, kita dapat menggunakan persamaan marginal cost (MC) sama dengan marginal revenue (MR), yaitu:

MC = MR

Dalam hal ini, MC adalah turunan dari total cost (TC) dan MR adalah turunan dari total revenue (TR), sehingga kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut dengan menghitung turunan dari kedua fungsi tersebut, yaitu:

MC = d(TC)/dQ = 3Q^2 + 16Q

MR = d(TR)/dQ = 45 - Q

Dengan menyamakan MC dan MR, kita dapat mencari nilai Q yang memenuhi persamaan tersebut:

3Q^2 + 16Q = 45 - Q

4Q^2 + 16Q - 45 = 0

Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut:

Q = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Q = (-16 ± √(16^2 - 4(4)(-45))) / 2(4)

Q = (-16 ± √736) / 8

Q = (-16 ± 2√46) / 8

Q = -2 ± 0.5√46

Karena kuantitas barang tidak dapat bernilai negatif, maka kita ambil nilai Q ≈ 3,33. Oleh karena itu, pengusaha harus memproduksi sebanyak 3,33 unit barang untuk mencapai keuntungan maksimal.

Untuk mencari keuntungan maksimal, kita dapat menghitung total revenue (TR) dan total cost (TC) pada kuantitas barang tersebut:

TR = 45Q - 0,5Q^2 = 45(3,33) - 0,5(3,33)^2 ≈ 74,17

TC = Q³ + 8Q² + 570Q + 2 = (3,33)^3 + 8(3,33)^2 + 570(3,33) + 2 ≈ 631,74

Keuntungan maksimal yang diperoleh pengusaha tersebut adalah TR - TC, yaitu sekitar 74,17 - 631,74 ≈ -557,57. Oleh karena itu, pengusaha mengalami kerugian sekitar Rp 557,57 jika memproduksi 3,33 unit barang.